Använd lådprincipen för att bevisa periodisk decimalutveckling hos rationellt tal (svår uppgift)

Du kan alltid tänka att det finns oändligt många decimaler, om vi tänker t.ex. att $0{,}2 = 0{,}2000\dots$. På så sätt har du alltid fler än 10 objekt, men som mest 10 decimaltal (lådor).

Om vi delar ett tal med $b$ så finns $b$ st möjliga restklasser. Antag att du bestämt $b+1$ rester, säg $r_1,r_2,\dots,r_{b+1}$.

Två av dessa måste nödvändigtvis vara samma, säg $r_i = r_j$. Men då måste även $r_{i+1} = r_{j+1}$ ...

Kan du fortsätta själv?

Tillägg: 20 nov 2025 20:56

Vid division med ett tal $b$, så finns exakt $b$ restklasser. Det beror på att vi har följande sats, som du kanske stött på redan:

För varje heltal $a$ och $b\neq 0$ finns det unika heltal $k$ och $r$ sådana att

$a = kb +r$,

med $0\leq r< |b|$.

Denna sats är vad vi utnyttjar vid heltalsdivision med rest: $a$ delat med $b$ är lika med $k$ och $r$ i rest. Vi kan räkna på detta sätt eftersom satsen garanterar att det finns unika sådana tal $k$ och $r$ för varje val av $a$ och $b$.

Det finns $b$ st olika värden $r$ kan anta (nämligen $0,1,\dots,b-1$). Därför finns också $b$ st restklasser.

Ok. Jag förstår nu att antalet lådor är begränsade till 10 st men vilka är objekten? Hur kommer man fram till att dessa är fler än 10?

Om talet är 7/5 förstår jag att resten ej kan vara större eller lika med 7, men hur kan man använda samma resonemang för 5/7? Då går 7 in i fem 0 gånger? Måste man kunna långdivision för att lösa uppgiften? Har nämligen trängt undan lite av mattekunskaperna från matematik 4 kursen. 

Jag förstår verkligen inte ChatGPT:s svar (samma som min lärare också förklarar):

Vilka är objekten?

Lägg en stund på att repetera eller lära dig lång division. Man kanske inte gör det längre, men har man ingen miniräknare är det faktiskt rätt händigt att kunna. 

Dividera sedan 1/17, så ser du säkert mönstret efter ett tag. Det är faktiskt ett bra exempel på just n-1=17-1=16 olika lådor.