11 svar
201 visningar
gulfi52 behöver inte mer hjälp
gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 22 dec 2017 10:04

Använda integraler för areaberäknig

först ska man beräkna var de skär varandra men jag kommer inte på hur?

Yngve 40014 – Livehjälpare
Postad: 22 dec 2017 10:08

Jag skulle gjort på följande sätt:

  1. Invertera bägge leden
  2. Kvadrera bägge leden
  3. Substituera t = x^2 och lös andragradsekvationen.
  4. Substituera tillbaka till x.
gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 22 dec 2017 10:21 Redigerad: 22 dec 2017 10:56

Ska prova men hur menar du med invertera?

passar på att fråga på fortsättningen. Jag kör fast... (se mederdelen på pappret)

Om man som jag får får x = +/- roten ur 3 - hur ska jag använda detta?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 22 dec 2017 11:16

Jag hade löst det såhär, börja att multiplicera båda leden med 1+x2 1 + x^2 så får man

2=1+x21+x22=1 + x24=1+x2x2=3x=±3

Yngve 40014 – Livehjälpare
Postad: 22 dec 2017 12:00 Redigerad: 22 dec 2017 12:01
gulfi52 skrev :

Ska prova men hur menar du med invertera?

Jag menar att om VL = HL så är 1/VL = 1/HL.

Detta förutsätter förstås att både VL och HL är skilda från 0, vilket är fallet i detta fallet.

gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 26 dec 2017 15:53

Jg kanske kan lösa skärningen, punkt 2 på pappret, men punkt 1) f(x)-g(x) får jag inte ihop...

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 26 dec 2017 16:40

Det gäller att

1x2+1dx=arctan(x)+C \int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C

Samt att

11+x2dx=sinh-1(x)+C \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx = \sinh^{-1}(x) + C

Den senare kan man beräkna genom variabelbytet t=sinh(x) t = \sinh(x) och använda den hyperboliska ettan. Om man känner sig bekväm med de hyperboliska funktionerna dvs.

Albiki 5096 – Fd. Medlem
Postad: 26 dec 2017 17:02

Hej!

Uppgift 14.2 a: Beräkna arean av den skuggade ytan mellan de två graferna.

Den skuggade ytans area är lika med integralen

    0a21+x2-11+x2dx , \int_{0}^{a} \frac{2}{1+x^2}-\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\text{d}x\ ,

där det positiva talet a a är sådant att

    21+a2=11+a2 \frac{2}{1+a^2} = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}

det vill säga a=3 . a=\sqrt{3}\ .

Albiki

gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 09:59
Stokastisk skrev :

Det gäller att

1x2+1dx=arctan(x)+C \int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan(x) + C

Samt att

11+x2dx=sinh-1(x)+C \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx = \sinh^{-1}(x) + C

Den senare kan man beräkna genom variabelbytet t=sinh(x) t = \sinh(x) och använda den hyperboliska ettan. Om man känner sig bekväm med de hyperboliska funktionerna dvs.

Men... är inte promotiven till den senare av de två 

ln av x+(roten ur (1+x^2) ) ?

gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 10:00
Stokastisk skrev :

Jag hade löst det såhär, börja att multiplicera båda leden med 1+x2 1 + x^2 så får man

2=1+x21+x22=1 + x24=1+x2x2=3x=±3

Hur går du från steg ett till steg två?

Stokastisk 3597 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 10:09 Redigerad: 28 dec 2017 10:23

Duh, sinh-1(x)=ln(x+1+x2) \sinh^{-1}(x) = \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) , är inte det uppenbart :P Nej skämt åsido likheten mellan detta gäller men det kanske inte är uppenbart, man ser det genom att beräkna inversen till sinh(x) \sinh(x) på följande sätt:

y=ex-e-x22exy=e2x-1e2x-2exy-1=0ex=y+y2+1x=ln(y+y2+1)

Så inversen till sinh(x) \sinh(x) är ln(x+1+x2) \ln(x + \sqrt{1 + x^2}) .

 

För att gå mellan steg 1 och steg 2 så se det som att a=1+x2 a = 1 + x^2 då står det ju

2=aa

Eftersom a/a=a a/\sqrt{a} = \sqrt{a} så gäller det alltså att x2+1x2+1=x2+1 \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} .

gulfi52 896 – Fd. Medlem
Postad: 28 dec 2017 10:33

Aha - tack :)

 

och ytterligare ett aha med ett tack!

Svara
Close