approximera integralen

Ett alternativ (med tanke på dina andra trådar) är att Maclaurinutveckla funktionen:

$f\left(x\right)=\dfrac{\sin(x)}{x}$

Med hjälp av den går det att få fram en Maclaurinutveckling för en primitiv funktion, vilket hjälper för att beräkna integralen.

f(0) är visserligen odefinierat som det står, men f(x) har ett gränsvärde när x går mot noll. 

AlvinB skrev:

Ett alternativ (med tanke på dina andra trådar) är att Maclaurinutveckla funktionen:

$f\left(x\right)=\dfrac{\sin(x)}{x}$

Med hjälp av den går det att få fram en Maclaurinutveckling för en primitiv funktion, vilket hjälper för att beräkna integralen.

 När jag utvecklade till ordning två fick jag f(x)=$\frac{x-\cos \left(\epsilon \right)\times x^3}{6}/x=\frac{x-\cos \left(\epsilon \right)x^3}{6x}=\frac{x}{x}\frac{(1-\cos \left(\epsilon \right)x^2)}{6}=\frac{1-\cos \left(\epsilon \right)x^2}{6}$. Hur menade du att jag kunde göra nu?

Laguna skrev:

f(0) är visserligen odefinierat som det står, men f(x) har ett gränsvärde när x går mot noll. 

 Aha okej så jag kan beräkna $li{m}_{x->0}\frac{\sin x}{x} och li{m}_{x->1/2}\frac{\sin x}{x}$. 

$li{m}_{x->0}\frac{\sin x}{x}=1 och li{m}_{x->1/2}\frac{\sin x}{x}=2\sin (1/2)$. 

0,5$\times \frac{1+2\sin \left(1/2\right)}{2}\approx 0,25$

lamayo skrev:

AlvinB skrev:

Ett alternativ (med tanke på dina andra trådar) är att Maclaurinutveckla funktionen:

$f\left(x\right)=\dfrac{\sin(x)}{x}$

Med hjälp av den går det att få fram en Maclaurinutveckling för en primitiv funktion, vilket hjälper för att beräkna integralen.

 När jag utvecklade till ordning två fick jag f(x)=$\frac{x-\cos \left(\epsilon \right)\times x^3}{6}/x=\frac{x-\cos \left(\epsilon \right)x^3}{6x}=\frac{x}{x}\frac{(1-\cos \left(\epsilon \right)x^2)}{6}=\frac{1-\cos \left(\epsilon \right)x^2}{6}$. Hur menade du att jag kunde göra nu?

 Jag menade att du skulle utgå från Maclaurinserien för sinus:

$\displaystyle\sin\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

och dividera båda led med $x$:

$\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}$

Kan du nu ta fram en primitiv funktion till $\frac{\sin(x)}{x}$?

Kommer den här övningen från någon bok? Har för mig att jag sett den i "Övningar till analys i en variabel". Isåfall låg den i kapitlet om taylorutvecklingar och det finns några exempel i huvudboken om hur man räknar detta.

Problemet med att använda trapetsregeln är att du inte vet hur stort felet blir.

AlvinB skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:

Ett alternativ (med tanke på dina andra trådar) är att Maclaurinutveckla funktionen:

$f\left(x\right)=\dfrac{\sin(x)}{x}$

Med hjälp av den går det att få fram en Maclaurinutveckling för en primitiv funktion, vilket hjälper för att beräkna integralen.

 När jag utvecklade till ordning två fick jag f(x)=$\frac{x-\cos \left(\epsilon \right)\times x^3}{6}/x=\frac{x-\cos \left(\epsilon \right)x^3}{6x}=\frac{x}{x}\frac{(1-\cos \left(\epsilon \right)x^2)}{6}=\frac{1-\cos \left(\epsilon \right)x^2}{6}$. Hur menade du att jag kunde göra nu?

 Jag menade att du skulle utgå från Maclaurinserien för sinus:

$\displaystyle\sin\left(x\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}$

och dividera båda led med $x$:

$\displaystyle\frac{\sin(x)}{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n}$

Kan du nu ta fram en primitiv funktion till $\frac{\sin(x)}{x}$?

 Aha, då är jag med blir det då ${\int }_0^{1/2}\frac{\sin x}{x}\approx 0,5?$

parveln skrev:

Kommer den här övningen från någon bok? Har för mig att jag sett den i "Övningar till analys i en variabel". Isåfall låg den i kapitlet om taylorutvecklingar och det finns några exempel i huvudboken om hur man räknar detta.

 

Problemet med att använda trapetsregeln är att du inte vet hur stort felet blir.

 Okej, hittade den här https://www.math.kth.se/math/GRU/2009.2010/SF1625/CMIEL/EXTRA/Taylorsuppg.pdf

lamayo skrev:

AlvinB skrev:
[...]

 Aha, då är jag med blir det då ${\int }_0^{1/2}\frac{\sin x}{x}\approx 0,5?$

 Ja, det blir ju ungefär där (integralens värde är $\approx0,493107$)

Med en Maclaurinserie kan du ju få godtycklig precision på värdet eftersom Lagranges restterm säger dig hur stort felet är.

AlvinB skrev:

lamayo skrev:

Visa föregående citat

AlvinB skrev:
[...]

 Aha, då är jag med blir det då ${\int }_0^{1/2}\frac{\sin x}{x}\approx 0,5?$

 Ja, det blir ju ungefär där (integralens värde är $\approx0,493107$)

Med en Maclaurinserie kan du ju få godtycklig precision på värdet eftersom Lagranges restterm säger dig hur stort felet är.

 Okej, Tack så mycket!

Hej!

Om

    $\displaystyle f(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt \ , \quad x>0$

så kan man använda flera Taylorutvecklingar för att approximera $f(1/2)$.

    $f(1/2) = f(1/4) + 1/4f'(1/4)+...$

och

    $f(1/4) = f(1/8) + 1/8f'(1/8)+...$

och

    $f(1/8) = f(1/16) + 1/16f'(1/16)+...$

och så vidare. Med derivatan $f'(x) = \frac{\sin x}{x}$ får man approximationen (bestående av en summa av 7 termer)

    $f(1/2) \approx \sin \frac{1}{4}+\sin\frac{1}{8}+\sin\frac{1}{16}+\sin\frac{1}{32}+\cdots+\sin\frac{1}{256} \approx 0.493125...$

Jämför approximationen med det noggrannare värde $f(1/2) = 0.493107...$

Trapetsregeln borde kunna bli godkänd här, men jag vet inte hur lätt det är att uppskatta dess felterm.

Albiki skrev:

Hej!

Om

    $\displaystyle f(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt \ , \quad x>0$

så kan man använda flera Taylorutvecklingar för att approximera $f(1/2)$.

    $f(1/2) = f(1/4) + 1/4f'(1/4)+...$

och

    $f(1/4) = f(1/8) + 1/8f'(1/8)+...$

och

    $f(1/8) = f(1/16) + 1/16f'(1/16)+...$

och så vidare. Med derivatan $f'(x) = \frac{\sin x}{x}$ får man approximationen (bestående av en summa av 7 termer)

    $f(1/2) \approx \sin \frac{1}{4}+\sin\frac{1}{8}+\sin\frac{1}{16}+\sin\frac{1}{32}+\cdots+\sin\frac{1}{256} \approx 0.493125...$

Jämför approximationen med det noggrannare värde $f(1/2) = 0.493107...$

 Okej, Tack!