Är det här bara ett klumpigt sätt att definiera en funktion?

Ser väl mer ut som en beskrivning av grafen till funktionen?

Öh... Ja, grafen till funktionen

Det var nu rätt länge sedan jag läste matematik så ta mitt svar här med en nypa salt. Som jag kommer ihåg det så visar det att M är mängden av y = x²-2 där x och y tillhör de reella talen och är reella ordnade talpar (därav ${\mathrm{ℝ}}^2$). Edit: eller med andra ord grafen (som Arktos skrev).

Det korta svaret är, precis som redan har konstaterats i tråden, att mängden $M$ är grafen till funktionen $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ defined av $f(x)=x^2-2$.

Generellt så ges grafen till en funktion $f\colon A\to B$ av mängden $G_f=\{(a,f(a)):a\in A\}\subseteq A\times B$.

Men det långa svaret är att du faktiskt hade rätt i din första tanke!

Det finns nämligen i huvudsak två sätt att definiera vad man menar med en funktion; ett mer intuitivt sätt (som är det man oftast använder i praktiken när man tänker på funktioner), och ett lite mer formellt mängd-teoretiskt sätt (som jag tror att de flesta matematiker uppfattar som mer precist, och som en mer stabil grund att stå på):

(i) Intuitivt är en funktion $f\colon A\to B$ en regel som till varje element $a\in A$ ordnar ett element $f(a)\in B$. 

(ii) Formellt är en funktion $f\colon A\to B$ en mängd $\mathcal{F}\subseteq A\times B$ sådan att det för varje $a\in A$ existerar exakt ett par i $\mathcal{F}$ med $a$ som första komponent. Den andra komponenten i detta unika par brukar vi beteckna som $f(a)$.

Notera att det formella perspektivet innebär att man inte gör någon skillnad mellan en funktion och grafen till nämnda funktion; varje funktion är helt enkelt lika med sin graf. Mängden $M$ i ursprungsinlägget är alltså i någon mening exakt det som definierar funktionen $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ med $f(x)=x^2-2$, precis som du var inne på! :-)

Sidenote: Om du har hunnit stöta på begreppet relationer (t.ex. ekvivalensrelationer) i dina matematikstudier, så kan du med fördel jämföra de två perspektiven ovan med det som jag försöker förklara i den här tråden, nämligen att det även för relationer finns dels en intuitiv definition och dels en formell mängd-teoretiskt definition.

Åhhh så intressant, jag visste att det fanns nåt bakom, det där ska jag se närmare på!