Är det inte indirekt bevis?

Jag förstår inte riktigt vad du gör i bilden. Kan du förklara mer, med ord, hur du tänkt och vad du gjort? 

Jag försökte göra ett indirekt bevis . Där mitt påstående att a inte är delbar med tre och då blir a^2 inte delbart med tre

sen så lägger jag ett heltal i platsen för a och skriver det som = 3 gånger något heltal och löser ut n sen lägger det in i a^2 och skriver där också (2n)^2

Målet är alltså att visa $a$ inte delbar med 3 medför att $a^2$ inte delbar med 3. 

Det du kan tänka på är att $3$ är ett primtal, man kan inte dela upp $3$ i icke-triviala faktorer (alltså inte $1$ eller $3$). Detta till skillnad från exempelvis $4$. Om $a=6$ så är $a$ inte delbar med $4$, men $a^2 = 36$ är det. Dock är det mer lämpligt att tänka på primtal om man vill göra ett direkt bevis. 

Du kan skriva $a$ antingen som $3k+1$ eller $3k+2$, där $k$ är något heltal. $+1$ och $+2$ är alltså resten när man delar med 3, enligt antagelsen att $a$ inte är delbar med $3$ så resten kan inte vara $0$. Vad blir $a^2$ då? Är $a^2$ delbar med 3? 

Vänta så man kan inte skriva 3 gånger k när något är delbar med 3, fast jag har för mig att man har kunnat göra det på andra uppgifter 

Men hur gör man då ?

Jo du kan absolut skriva $3k$ när något är delbar med $3$. Men då du gör ett indirekt bevis är väl $a$ inte delbar med $3$ och då kan man skriva $a$ som en multipel av $3$ plus någon rest, vilket för talet $3$ antingen är $1$ eller $2$.

Jaha tappade lite bort mig i varför man skriver 3k+1 men nu förstår jag

fast hur fortsätter man? Ska man göra roten ur på högerled och sen säga att ett rationellt tal ska inte innehålla icke rationella tecken som roten ur och där man bevisar att när a inte är delbar med 3 så är a^2 inte delbar med tre

eller är det något jag missat ?

Om vi kollar fallet $a=3k+1$ får vi att $a^2 = (3k+1)^2 = 9k^2 + 6k + 1$. Är detta tal delbart med 3? 

Nej inte fullt ut, ettan går inte att faktoriseras

Precis så!

$a^2 =9k^2+6k+1= 3({\color{magenta}3k^2+2k}) + 1 = 3{\color{magenta}b}+1$, dvs $a^2$ kan skrivas som en multipel av $3$ plus $1$ och därmed är $a^2$ inte delbar med $3$. 

Kan du undersöka fallet $a = 3k+2$ på samma sätt nu? 

Vänta är a = 3k + 2 ? Varför är den inte

a=3k+ 1 ?

Det finns två olika fall. Om $a$ inte är delbar med 3 är $a$ antingen $1$ mer än en multipel av $3$ eller $2$ mer än en multipel av $3$.

Ett tal har antingen resten $0,1$ eller $2$ när man delar med $3$. Vår antagelse att $a$ inte är delbar med $3$ utesluter fallet att resten är $0$.

Aha okej så a = 3k + 2

Här går det inte att faktorisera 

Ska man höja upp båda sidor med 2 så det liknar a^2

Ja, på exakt samma sätt som i fallet med $3k+1$. Vi börjar med något tal som inte är delbart med $3$ och målet är att visa att kvadraten inte heller är delbar med $3$. Ovan gjorde vi i det andra fallet genom att visa att när man delar $a^2$ med $3$ är resten inte $0$.

Så kommer det bli något sånt här?

Ja, precis så! Snyggt. 

Då har vi alltså visat att i de möjliga fallen där $a$ inte är delbar med $3$, alltså om resten vid division med $3$ antingen är $1$ eller $2$, så följer det att $a^2$ inte heller är delbar med $3$. 

En mer generell sats man kan använda som direkt medför detta resultat är Euklides lemma. Denna sats säger att om talet $a\cdot b$ är delbar med ett primtal $p$ så är antingen $a$ eller $b$ delbar med $p$. Vår fråga ovan är fallet när $a=b$ och $p=3$. Intuitivt är detta på grund av att man inte kan dela upp primtal i faktorer. 

Tack!!