9 svar
103 visningar
Qetsiyah är nöjd med hjälpen!
Qetsiyah 670
Postad: 23 mar 2019

Är detta påstående sant?

f har i ett intervall endast en extrempunkt (det är ett maximum), så det betyder att en ekvation a=f(x) aldrig kan ha fler än två lösningar för x.

Som min förra fråga tycker jag att detta är en ren självklarhet, men jag tycker ändå att det är för lite information för att göra ett bevis...

AlvinB 3163
Postad: 23 mar 2019

Du måste åtminstone ha som villkor att funktionen skall vara kontinuerlig, annars blir det enkelt att konstruera motexempel.

Qetsiyah 670
Postad: 23 mar 2019

Okej, den är kontinuerlig. Den är reellvärd. 

Räknar du dubbelrötter som två olika lösningar eller samma lösning?

f(x)=-x4f(x)=-x^4 har fyra rötter (dvs sätt a=0), samtliga x=0, och uppfyller dina andra villkor från negativa till positiva oändligheten.

Qetsiyah 670
Postad: 23 mar 2019

Jag räknar dubbelrötter som en (1) lösning. Stämmer då påståendet?

Vad kallar man lösningen till en ekvation a=f(x) en "rot" även om a inte är noll?

AlvinB 3163
Postad: 23 mar 2019 Redigerad: 23 mar 2019

Om vi bara räknar distinkta rötter och vi antar att funktionen är deriverbar på intervallet ger väl Rolles sats detta påstående rakt av.

Rolles sats säger ju nämligen att en deriverbar funktions derivata måste anta värdet noll någonstans mellan två punkter där funktionen antar samma värde. Om vi skulle ha fler än två lösningar till ekvationen med en funktion med endast en extrempunkt motsäger detta Rolles sats; därav kan en sådan ekvation maximalt ha två lösningar.

Jag är ganska säker på att påståendet gäller även om funktionen inte är deriverbar, men jag kan inte för stunden tänka mig något sätt att bevisa det på.

Albiki Online 4073
Postad: 23 mar 2019

Är funktionen f:(-1,1)(0,1)f : (-1,1) \to (0,1) kontinuerlig?

    f(x)=1-x2f(x) = 1-x^2 om x(0,1)x \in (0,1)\cap\mathbb{Q} och f(x)=0f(x) = 0 om x(0,1).x \in (0,1) \setminus\mathbb{Q}.

Ekvationen f(x)=(1-π-1)(1+π-1)f(x) = (1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1}) saknar lösning trots att (1-π-1)(1+π-1)(0,1)(1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})\in(0,1) och funktionen har en enda extrempunkt; när x=0x=0 är f(0)=1f(0) = 1

Funktionen är inte deriverbar.

AlvinB 3163
Postad: 23 mar 2019
Albiki skrev:

Är funktionen f:(-1,1)(0,1)f : (-1,1) \to (0,1) kontinuerlig?

    f(x)=1-x2f(x) = 1-x^2 om x(0,1)x \in (0,1)\cap\mathbb{Q} och f(x)=0f(x) = 0 om x(0,1).x \in (0,1) \setminus\mathbb{Q}.

Ekvationen f(x)=(1-π-1)(1+π-1)f(x) = (1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1}) saknar lösning trots att (1-π-1)(1+π-1)(0,1)(1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})\in(0,1) och funktionen har en enda extrempunkt; när x=0x=0 är f(0)=1f(0) = 1

Funktionen är inte deriverbar.

Hur definieras denna funktion då xx ligger i intervallet (-1,0)(-1,0)?

Albiki Online 4073
Postad: 23 mar 2019
AlvinB skrev:
Albiki skrev:

Är funktionen f:(-1,1)(0,1)f : (-1,1) \to (0,1) kontinuerlig?

    f(x)=1-x2f(x) = 1-x^2 om x(0,1)x \in (0,1)\cap\mathbb{Q} och f(x)=0f(x) = 0 om x(0,1).x \in (0,1) \setminus\mathbb{Q}.

Ekvationen f(x)=(1-π-1)(1+π-1)f(x) = (1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1}) saknar lösning trots att (1-π-1)(1+π-1)(0,1)(1-\pi^{-1})(1+\pi^{-1})\in(0,1) och funktionen har en enda extrempunkt; när x=0x=0 är f(0)=1f(0) = 1

Funktionen är inte deriverbar.

Hur definieras denna funktion då xx ligger i intervallet (-1,0)(-1,0)?

Bra poäng! Jag definierade först funktionen på (0,1)(0,1) men ändrade sedan till (-1,1)(-1,1) utan att uppdatera överallt. Funktionen är alltså f:(-1,1)(0,1)f: (-1,1) \to(0,1) där f(x)=1-x2f(x) = 1-x^2x(-1,1)x \in (-1,1)\cap\mathbb{Q} och f(x)=0f(x) = 0x(-1,1).x \in (-1,1)\setminus\mathbb{Q}.

AlvinB 3163
Postad: 23 mar 2019 Redigerad: 23 mar 2019

Jag sitter och funderar lite grann, och så vitt jag kan se är din funktion inte kontinuerlig vid rationella tal.

För ett rationellt tal p(-1,1)p\in\mathbb{Q}\cap(-1,1) får man ju funktionsvärdet:

f(p)=1-p2f(p)=1-p^2

Tar man sedan ett irrationellt tal α(-1,1)\alpha\in(-1,1)\setminus\mathbb{Q} sådant att p+α(-1,1)p+\alpha\in(-1,1) och definierar talföljden xk=p+α/kx_k=p+\alpha/k för k{0}k\in\mathbb{N}\setminus\{0\} får man att:

p-xk=αk\left|p-x_k\right|=\dfrac{\alpha}{k}

och

|f(p)-f(xk)|=f(p)=1-p2|f(p)-f(x_k)|=f(p)=1-p^2

eftersom f(xk)=0f(x_k)=0 då alla xkx_k är irrationella. Sedan kan man välja kk så att |p-xk|<δ|p-x_k|<\delta, men då kommer |f(p)-f(xk)||f(p)-f(x_k)| fortfarande vara lika med 1-p21-p^2, d.v.s. avståndet |f(p)-f(xk)||f(p)-f(x_k)| minskar inte|p-xk||p-x_k| minskar. Enligt epsilon-delta-defintionen av kontinuitet har man ju då att funktionen inte är kontinuerlig i punkten pp.

Om jag nu inte har fel någonstans så har jag svårt att se hur din funktion har någonting med frågeställningen att göra.

Svara Avbryt
Close