Är funktionen avtagande i intervallet

Nästan, du ska visa att $\frac{df}{dx} \le 0$ då $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}$

Alltså i hela intervallet. Inte bara ändpunkterna.

tomast80 skrev :

Alltså i hela intervallet. Inte bara ändpunkterna.

Går det bra om jag räknar derivatan då x$=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}, \frac{\mathrm{\pi }}{3}, \frac{\mathrm{\pi }}{2} samt ändpunkterna?$

rama123 skrev :

tomast80 skrev :

Alltså i hela intervallet. Inte bara ändpunkterna.

Går det bra om jag räknar derivatan då x$=-\frac{\mathrm{\pi }}{3}, \frac{\mathrm{\pi }}{3}, \frac{\mathrm{\pi }}{2} samt ändpunkterna?$

Det är inte tillräckligt! Det ska visas för alla punkter i intervallet. Dock, om du deriverar först så tror jag att det inte är alltför svårt att visa sedan.

jag ska derivera $$\begin{gathered} f\left(x\right)=\frac{\cos x}{\sin x+1} \\ f\text{'}\left(x\right)=\frac{-\sin x*(\sin x+1)-(\cos x*\cos x)}{(\sin x+1{)}^2}= \frac{-{\sin }^{2}x +\sin x -{\cos }^{2}x}{{\displaystyle {\sin }^2}{\displaystyle x}{\displaystyle +}{\displaystyle 2}{\displaystyle \sin }{\displaystyle x}{\displaystyle +}{\displaystyle 1}} \end{gathered}$$

Är det rätt?

 Inte helt rätt, det gäller att

$f'(x) = \frac{-\sin^2(x) - \sin(x) - \cos^2(x)}{(\sin(x) + 1)^2}$

Det är alltså minus $\sin(x)$ och inte plus $\sin(x)$. Du kan fortsätta förenkla uttrycket.

$$\begin{gathered} \frac{-{\sin }^2\left(x\right)-\sin \left(x\right)-{\cos }^2\left(x\right)}{\left(\sin \right(x)+1{)}^2}=\frac{-\sin \left(x\right)\left(\sin \right(x)+1)-{\cos }^2\left(x\right)}{\left(\sin \right(x)+1)\left(\sin \right(x)-1)} \\ =\frac{-\sin \left(x\right)-{\cos }^2\left(x\right)}{\left(\sin \right(x)-1)}=\frac{-\sin \left(x\right)(1-{\sin }^2(x\left)\right)}{\sin \left(x\right)-1} \\ =\frac{{\sin }^2\left(x\right)-\sin \left(x\right)-1}{\sin \left(x\right)-1}= \frac{\sin \left(x\right)\left(\sin \right(x)-1)}{\sin \left(x\right)-1}=\sin \left(x\right)-1 \end{gathered}$$Stokastisk skrev :

??

Nej det där blev inte korrekt. Det gäller inte att

$(\sin(x) + 1)^2 = (\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1)$

Utan det gäller att

$(\sin(x) + 1)^2 = (\sin(x) + 1)(\sin(x) + 1)$

Alltså plus i båda parenteserna. Sedan kan du inte förkorta bort så där, det du förkortar bort måste vara en faktor i alla termer i nämnaren, inte i bara en av termerna.

Använd istället att

$\frac{-\sin(x) - \sin^2(x) - \cos^2(x)}{(\sin(x) + 1)^2} = \frac{-\sin(x) - (\sin^2 + \cos^2(x))}{(\sin(x) + 1)^2}$

$= \frac{-\sin(x) - 1}{(\sin(x) + 1)^2} = -\frac{\sin(x) + 1}{(\sin(x) + 1)^2}$

$= -\frac{1}{\sin(x) + 1}$

Stokastisk skrev :

Nej det där blev inte korrekt. Det gäller inte att

$(\sin(x) + 1)^2 = (\sin(x) + 1)(\sin(x) - 1)$

Utan det gäller att

$(\sin(x) + 1)^2 = (\sin(x) + 1)(\sin(x) + 1)$

Alltså plus i båda parenteserna. Sedan kan du inte förkorta bort så där, det du förkortar bort måste vara en faktor i alla termer i nämnaren, inte i bara en av termerna.

Använd istället att

$\frac{-\sin(x) - \sin^2(x) - \cos^2(x)}{(\sin(x) + 1)^2} = \frac{-\sin(x) - (\sin^2 + \cos^2(x))}{(\sin(x) + 1)^2}$

$= \frac{-\sin(x) - 1}{(\sin(x) + 1)^2} = -\frac{\sin(x) + 1}{(\sin(x) + 1)^2}$

$= -\frac{1}{\sin(x) + 1}$

Hur kan jag nu visa att funktionen är avtagande i intervallet?

Du ska visa att derivatan är negativ i hela intervallet. Notera då att $-1 \le \sin(x) \le 1$, vilket innebär att $0 \le 1 + \sin(x)$.

Men när x=$\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ då blir nämnaren 0!

Det stämmer bra. Men notera att $3\pi / 2$ inte ingår i intervallet. $x$ ska vara mindre än $3\pi / 2$ men får inte vara lika med $3\pi / 2$.

Samma för $-\pi / 2$, x måste vara större än det, men får inte vara lika med det.

rama123 skrev :

Men när x=$\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ då blir nämnaren 0!

Observera att ändpunkterna inte ingår i intervallet! Det är strikt olikhet som gäller.