Är jag på rätt väg?? (Matematik/Matte 3/Derivata)

Hej!

Som du noterat så är cirkelns diameter ( $D$ ) lika med rektangelns diagonal och med hjälp av Pythagoras sats får du ett samband mellan rektangelns bas ( $b$ ) och rektangelns höjd ( $h$ ).

$\displaystyle D^2 = b^2+h^2$ .

Cylinderns volym ( $v$ ) är lika med

$\displaystyle v = \frac{\pi b^2}{4} \cdot h$

och klotets volym ( $V$ ) är lika med

$\displaystyle V = \frac{4\pi D^3}{24}$ .

Förhållandet mellan cylinderns volym och klotets volym är en funktion ( $f$ ) som beror på förhållandet ( $x = h/D$ ) mellan cylinderns höjd och klotets diameter.

Error converting from LaTeX to MathML där $x = \frac{h}{D}$ .

Eftersom cylindern ligger inuti klotet så är kvoten $x = h/D$ ett tal som ligger mellan talen 0 och 1.

Du vill finna den kvot ( $0 < x < 1$ ) som ger största möjliga värde till funktionen $f(x).$

Albiki

Hej igen!

Funktionen som du vill finna maximum hos är

$\displaystyle f(x) = \frac{3}{2}(x-x^3).$

Albiki

Hej Tamara,

Tycker det ser lovande ut, men tror du slarvade lite när du satte upp volymen för cylindern.

Om jag förstår din bild rätt är x diametern på cylindern, du har använt den som en radie. Använd istället:

$V_c=\pi (\frac{x}{2})^2 h$

Du kan fortfarande utnyttja triangelsambandet som du gjorde tidigare. Du kommer få nästan samma uttryck för $V_c$

Sedan kan du bilda ett uttryck för kvoten mellan $V_c$ och $V_k$

Slutligen återstår det att hitta det förhållande mellan r och h som maximerar kvoten. Det kan du göra genom att derivera uttrycket med avseende på h (du låtsas alltså att r är en konstant) och sätta derivatan till 0.

Om du vill kan du maximera $V_c$ istället eftersom det är samma sak som att maximera kvoten, men det är kanske mer pedagogiskt att maximera kvoten...

Om du inte slarvar upptäcker du förhållandet mellan r och h är $r=\frac{\sqrt3}{2}h$

Albiki skrev :
Hej!
Som du noterat så är cirkelns diameter ( $D$ ) lika med rektangelns diagonal och med hjälp av Pythagoras sats får du ett samband mellan rektangelns bas ( $b$ ) och rektangelns höjd ( $h$ ).
$\displaystyle D^2 = b^2+h^2$ .
Cylinderns volym ( $v$ ) är lika med
$\displaystyle v = \frac{\pi b^2}{4} \cdot h$
och klotets volym ( $V$ ) är lika med
$\displaystyle V = \frac{4\pi D^3}{24}$ .
Förhållandet mellan cylinderns volym och klotets volym är en funktion ( $f$ ) som beror på förhållandet ( $x = h/D$ ) mellan cylinderns höjd och klotets diameter.
Error converting from LaTeX to MathML där $x = \frac{h}{D}$ .
Eftersom cylindern ligger inuti klotet så är kvoten $x = h/D$ ett tal som ligger mellan talen 0 och 1.
Du vill finna den kvot ( $0 < x < 1$ ) som ger största möjliga värde till funktionen $f(x).$
Albiki

Jag förstår inte hur du fick cylinderns volym och klotets volym är r^3 inte d^3

Guggle skrev :
Hej Tamara,
Tycker det ser lovande ut, men tror du slarvade lite när du satte upp volymen för cylindern.

Om jag förstår din bild rätt är x diametern på cylindern, du har använt den som en radie. Använd istället:
$V_c=\pi (\frac{x}{2})^2 h$
Du kan fortfarande utnyttja triangelsambandet som du gjorde tidigare. Du kommer få nästan samma uttryck för $V_c$
Sedan kan du bilda ett uttryck för kvoten mellan $V_c$ och $V_k$
Slutligen återstår det att hitta det förhållande mellan r och h som maximerar kvoten. Det kan du göra genom att derivera uttrycket med avseende på h (du låtsas alltså att r är en konstant) och sätta derivatan till 0.
Om du vill kan du maximera $V_c$ istället eftersom det är samma sak som att maximera kvoten, men det är kanske mer pedagogiskt att maximera kvoten...
Om du inte slarvar upptäcker du förhållandet mellan r och h är $r=\frac{\sqrt3}{2}h$

Tar man då Vk/Vc för att få förhållandet

Tamara skrev :
Guggle skrev :
Hej Tamara,
Tycker det ser lovande ut, men tror du slarvade lite när du satte upp volymen för cylindern.

Om jag förstår din bild rätt är x diametern på cylindern, du har använt den som en radie. Använd istället:
$V_c=\pi (\frac{x}{2})^2 h$
Du kan fortfarande utnyttja triangelsambandet som du gjorde tidigare. Du kommer få nästan samma uttryck för $V_c$
Sedan kan du bilda ett uttryck för kvoten mellan $V_c$ och $V_k$
Slutligen återstår det att hitta det förhållande mellan r och h som maximerar kvoten. Det kan du göra genom att derivera uttrycket med avseende på h (du låtsas alltså att r är en konstant) och sätta derivatan till 0.
Om du vill kan du maximera $V_c$ istället eftersom det är samma sak som att maximera kvoten, men det är kanske mer pedagogiskt att maximera kvoten...
Om du inte slarvar upptäcker du förhållandet mellan r och h är $r=\frac{\sqrt3}{2}h$
Tar man då Vk/Vc för att få förhållandet

Hur bildar jag ett uttryck för kvoten mellan Vc och Vk

Tamara, det är inte tillåtet att bumpa sådär. Om du behöver tillägga något så kan du bara redigera ditt föregående inlägg (inom 2h). /moderator

Regel 1.8
Det är inte tillåtet att bumpa sin tråd inom ett dygn efter att du har postat tråden.
Bumpa betyder att en tråd flyttas upp i forumet genom att skriva inlägg i tråden som är tomma eller saknar mening i sammanhanget.

Regel 1.9
Det är inte tillåtet att bumpa sin tråd mer än en gång per dygn.
Bumpa betyder att en tråd flyttas upp i forumet genom att skriva inlägg i tråden som är tomma eller saknar mening i sammanhanget.

Tamara skrev :
Albiki skrev :
Hej!
Som du noterat så är [...]
Albiki
Jag förstår inte hur du fick cylinderns volym och klotets volym är r^3 inte d^3

Du och Albiki har skrivit nästan samma uttryck, men som Guggle påpekade gäller det att hålla reda på vad som är radie och vad som är diameter.

Det gäller både cylindern och klotet. Albiki har 24 i nämnaren, för diametern^3 = 8 * radien^3

statement skrev :
Tamara, det är inte tillåtet att bumpa sådär. Om du behöver tillägga något så kan du bara redigera ditt föregående inlägg (inom 2h). /moderator
Regel 1.8
Det är inte tillåtet att bumpa sin tråd inom ett dygn efter att du har postat tråden.
Bumpa betyder att en tråd flyttas upp i forumet genom att skriva inlägg i tråden som är tomma eller saknar mening i sammanhanget.
Regel 1.9
Det är inte tillåtet att bumpa sin tråd mer än en gång per dygn.
Bumpa betyder att en tråd flyttas upp i forumet genom att skriva inlägg i tråden som är tomma eller saknar mening i sammanhanget.

Hej

Jag förstår inte riktigt vad det är som jag har gjort. Men jag har ännu inte fått svar på min fråga är det inte ok att skriva det eller hur menar du. Mvh.

Det är inte tillåtet att skriva en gång till i sin egen tråd utan att tillföra något nytt, bara för att få upp tråden högst upp på listan. (Dessutom är det osmart . jag tror inte jag är ensam om att beta av listan nerifrån, och då dröjer det ännu längre innan du har fått svar.)

Tamara skrev :
Guggle skrev :
Hej Tamara,
Tycker det ser lovande ut, men tror du slarvade lite när du satte upp volymen för cylindern.

Om jag förstår din bild rätt är x diametern på cylindern, du har använt den som en radie. Använd istället:
$V_c=\pi (\frac{x}{2})^2 h$
Du kan fortfarande utnyttja triangelsambandet som du gjorde tidigare. Du kommer få nästan samma uttryck för $V_c$
Sedan kan du bilda ett uttryck för kvoten mellan $V_c$ och $V_k$
Slutligen återstår det att hitta det förhållande mellan r och h som maximerar kvoten. Det kan du göra genom att derivera uttrycket med avseende på h (du låtsas alltså att r är en konstant) och sätta derivatan till 0.
Om du vill kan du maximera $V_c$ istället eftersom det är samma sak som att maximera kvoten, men det är kanske mer pedagogiskt att maximera kvoten...
Om du inte slarvar upptäcker du förhållandet mellan r och h är $r=\frac{\sqrt3}{2}h$
Tar man då Vk/Vc för att få förhållandet

Skriv ett uttryck för Vc. Skriv ett uttryck för Vk. Bilda kvoten Vc/Vk. Derivera det nya uttrycket m a p h och beräkna vilket värde på h som ger derivatan värdet 0.