14 svar
51 visningar
arrehadde 27
Postad: 22 nov 21:25

Är lite osäker på hur man ska göra på denna

Lisa har lagat lasagne och enligt en förenklad modell kan lasagnens temperaturförändring
beskrivas med differentialekvationen nedan, där y = temperaturen i °C och t = tiden i min.
𝑑𝑦/𝑑𝑡 = −0,12(𝑦 − 20) 𝑦(0) = 220
a. Bestäm lasagnens temperaturförändring när dess temperatur är 80°C.
b. Vid vilken tidpunkt är lasagnen ljummen (37°C)?
c. Vad blir lasagnens temperatur på lång sikt? Motivera ditt svar med modellen.

 

På a) så tänker jag att man tar vänster ledet och läger in 80 som y och löser ut det 

på b) och c) är jag osäker och vet inte hur man ska göra.

Tack på förhand :)

Mogens Online 766
Postad: 22 nov 21:31

a ser väl bra ut. Där behöver man inte veta tiden.

Men i b behöver du lösa ut en funktion i t. Du kan skriva om ekvationen genom att separera dy och dt:

dy/(y–20) =  –0,12dt

Sedan integrerar du vänsterledet med avseende på y och vänsterledet m.a.p. t.

Ture 6397 – Livehjälpare
Postad: 22 nov 21:39 Redigerad: 22 nov 22:01

du har
dy/dt = -0,12(y-20)

vilket kan skrivas som 

y' = -0,12y+20

Edit: y'= -0,12y +20*0,12

<=>

0,12y+y' = 20

0,12y + y' = 2,4

dvs en första ordningens inhomogen diffekv  som har lösningen

y = 20/0,12 +C*e-012t

y = 2,4/0,12 +C*e-012t

begynnelsevillkoret y(0) = 220 hjälper dig att bestämma C

Mogens Online 766
Postad: 22 nov 21:45

Tack Ture!

arrehadde, lyssna inte på mig, onödigt krångligt.

arrehadde 27
Postad: 22 nov 21:50
Ture skrev:

du har
dy/dt = -0,12(y-20)

vilket kan skrivas som 

y' = -0,12y+20

<=>

0,12y+y' = 20

dvs en första ordningens inhomogen diffekv  som har lösningen

y = 20/0,12 +C*e-012t

begynnelsevillkoret y(0) = 220 hjälper dig att bestämma C

Ok tack så jag bytter helt enkelt y mot 220 och bestämmer C men kan jag använda det på nåt sätt för c) uppgiften? 

Ture 6397 – Livehjälpare
Postad: 22 nov 22:05

Tyvärr var jag lite för snabb när jag skrev förra inlägget, nu korrigerat, 

ekvationen blir

y = 2,4/0,12 +C*e-012t

<=>

y = 20 +C*e-12t

med t = 0 och y(0) = 220 får vi

220 = 20 +Ce0 => C = 200

Vår ekvation kan alltså skrivas

y = 20+200e-0,12t

om du sätter y = 37 kan du lösa ut vilket värde t har och få svaret på b

c löser du genom att fundera på vad sista termen går mot när t växer mot oändligheten

Mogens Online 766
Postad: 22 nov 22:09

Ture skrev

“c löser du genom att fundera på vad sista termen går mot när t växer mot oändligheten”

Man kan också fundera på vilken temperatur lasagnen får om den står oändligt länge i en 220-gradig ugn :)

Mogens Online 766
Postad: 22 nov 22:11

Fel av mig! Den är ju urtagen!

Ture 6397 – Livehjälpare
Postad: 22 nov 22:11

nu står lasagnen inte i ugnen utan är uttagen ur ugnen och står i 20 gradig rumstemperatur.

I övrigt är det rätt att man kan fundera på vad som händer på lång sikt

arrehadde 27
Postad: 23 nov 20:30
Ture skrev:

nu står lasagnen inte i ugnen utan är uttagen ur ugnen och står i 20 gradig rumstemperatur.

I övrigt är det rätt att man kan fundera på vad som händer på lång sikt

så hur är det jag ska tänka då, blir lite fundersam nu för du nämnde vad sista termen går mot när t växer mot oändligheten, men hur är det jag kan få reda på det? 

Mogens Online 766
Postad: 23 nov 21:25

Sista termen e^(–0,12t) gånger en konstant är konstanten delat med e^(+0,12t).

Vad händer med 0,12 t när t går mot oändligheten? Vad händer med e^0,12t ?

arrehadde 27
Postad: 23 nov 21:51
Mogens skrev:

Sista termen e^(–0,12t) gånger en konstant är konstanten delat med e^(+0,12t).

Vad händer med 0,12 t när t går mot oändligheten? Vad händer med e^0,12t ?

Det blir ju noll om den går mot oändligheten

Mogens Online 766
Postad: 23 nov 22:04

Sista termen går mot noll, ja. Så lasagnen närmar sig rumstemperatur

(men kommer aldrig riktigt fram…(

arrehadde 27
Postad: 23 nov 22:53
Mogens skrev:

Sista termen går mot noll, ja. Så lasagnen närmar sig rumstemperatur

(men kommer aldrig riktigt fram…(

vad menar du med men kommer aldrig riktigt fram?

Mogens Online 766
Postad: 24 nov 11:45

Rummet är 20 grader. Lasagnens temperatur närmar sig 20 grader men kommer aldrig att bli riktigt 20 grader. På 6 minuter halveras differensen mellan lasagnetemperaturen och rumstemp.

Svara Avbryt
Close