Andragradsekvation utan reella rötter (Matematik/Matte 2/Andragradsekvationer)

Visa hur du kom fram till svaret.

Här nedan bifogar jag uträkningen..

Din uträkning ser helt korrekt ut. Mycket tydligt och stiligt svar!

Tack så himla mycket, var osäker först men ni hjälpte till!

Men läraren sa att detta är inte helt rätt, det vill säga det ger kanske en halv poäng? Har jag missat att förklara något?

Somm skrev:
Men läraren sa att detta är inte helt rätt, det vill säga det ger kanske en halv poäng? Har jag missat att förklara något?

Du har gjort en korrekt analys och gjort korrekta beräkningar, men jag ser ett par saker du skulle kunna förbättra:

Du skriver $b^2=\pm64$ där det ska vara $b^2=64$
Du har löst ekvationen $b^2=64$ istället för olikheten $b^2<64$ . Det kan vara OK, men du bör då tydligare visa var olikheten är uppfylld.
Du lämnar inte ett tydligt svar på själva frågan. Dvs du bör svara något i stil med "Ekvationen saknar reella rötter då -8 < x < 8".

Men brukar det inte vara b^2=±64 om det är under rottentecknet?

Om b är ett reellt tal så är b² alltid ett positivt tal (eller 0, om b = 0). Du blandar nog ihop det med att lösningarna till ekvationen x² = 64 är $x=\pm8$ . "Roten ur" nånting är "det positiva tal som ger 'nånting' när man multiplicerar det med sig självt". Om "roten ur" hade varit båda värdena, hade man inte behövt skriva " $\pm$ ".

Somm skrev:
Men brukar det inte vara b^2=±64 om det är under rottentecknet?

Du har ekvationen $\frac{b^2}{4}=16$ .

Om du nu multiplicerar med $4$ på bägge sidor så får du ekvationen $b^2=64$ , inte $b^2=\pm64$ .

Är du med på det?

Det här kan mycket väl vara anledningen till att du inte fick full poäng.

Okej, men då blir väl svaret inte -8<b<8 utan endast b<8?

Somm skrev:
Okej, men då blir väl svaret inte -8<b<8 utan endast b<8?

Varför då, menar du? Ekvationen b² = 64 har två lösningar, en positiv och en negativ. (Ekvationen b² = -64 har också två lösningar, x = 8i och x = -8i.)

Somm skrev:
Okej, men då blir väl svaret inte -8<b<8 utan endast b<8?

Nej.

Du har ekvationen $b^2=64$

Om du nu drar roten ur på bägge sidor så får du $b=\pm\sqrt{64}$ , precis som vanligt.

Ja, men kärra någon det ska ju stå b= ±√64 och inte som jag skrev. Men hur kommer olikhet in här?

Men hur kommer olikhet in här?

Hur menar du?

Vilket tecken har uttrycket under rot-tecknet ( = diskriminanten) om b < -8? Hur många reella rötter har ekvationen?

Vilket tecken har diskriminanten om -8 = b ? Hur många reella rötter har ekvationen?

Vilket tecken har diskriminanten om -8 < b < 8? Hur många reella rötter har ekvationen?

Vilket tecken har diskriminanten om b =8? Hur många reella rötter har ekvationen?

Vilket tecken har diskriminanten om 8 < b? Hur många reella rötter har ekvationen?

Somm skrev:
Men hur kommer olikhet in här?

Det skrev du själv här:

Men ska jag då skriva b^2 =64 eller b^2 <64?

I det ena fallet är det en dubbelrot - det är väl inte det du var intresserad av?

Du ska lösa olikheten $b^2<64$ .

Det kan du göra genom att

först lösa ekvationen $b^2=64$ , vilket ger dig lösningarna $b=\pm8$
sedan genom ett resonemang visa att olikhetens lösning är $-8<b<8$

Det jag inte förstår är att b ger ju en positiv och negativ rot, men är det då fortfarande att det inte ger reella rötter? Eftersom om ekvationen inte ska ge reella rötter så bör det väl endast vara negativt, men här har jag ju både positiv och negativ.

Hur kan jag först beräkna b^2=64 och sedan sätta de till olikheten? När man skriver att något är =, är det inte då att det finns en lösning? Eller va?

jag förstår att b= ± 8 men hur ska jag bevisa att olikhetens lösning är -8 <b < 8? Jag ska lägga dessa b-värdena i diskriminanten eller?

Ser du att den blå kurvan (y = x²) är nedanför den gröna linjen (y = 64) när -8 < x < 8?

Ja, så är det som ett intervall då?

Ja, det är ett intervall.

Somm skrev:
Det jag inte förstår är att b ger ju en positiv och negativ rot, men är det då fortfarande att det inte ger reella rötter? Eftersom om ekvationen inte ska ge reella rötter så bör det väl endast vara negativt, men här har jag ju både positiv och negativ.

Du blandar ihop det.

Om $b^2<64$ så har ursprungsekvationen inga reella rötter. Om $b$ i sig är positivt eller negativt har ingenting med den saken att göra.

Så svaret ska endast bli -8 < b < 8?

Men det var ju mitt svar sen från början?

Ja. Ingen har sagt att ditt svar är fel. Tvärtom, vi har hela tiden sagt att det är rätt.

Ända sedan detta svar så har tråden istället handlat om att försöka besvara din fråga om varför du inte fick full poäng på uppgiften.

Ja, absolut! Men jag förstår fortfarande inte hur man kan svara b= ± 8 till att det blir -8 < b < 8. Det känns som att jag missar något. Hur visar jag att b= ±8 är -8 < b <8, är det bara att skriva så rakt av? För det var ju så jag hade gjort

Vem har påstått att man kan svara $\pm8$ på den här frågan? Korrekt svar är -8 < b < 8. Titta på bilden jag la in högre upp i tråden!

Yngve skrev:
Du ska lösa olikheten $b^2<64$ .

Det kan du göra genom att

först lösa ekvationen $b^2=64$ , vilket ger dig lösningarna $b=\pm8$

sedan genom ett resonemang visa att olikhetens lösning är $-8<b<8$

2. förstord jag inte, liksom hur ska jag resonera att olikhetens lösning är -8 < b <8, det är det som jag undrar över?

Ber om ursäkt för att ha varit otydlig.

Är den här bilden tydligare?

Somm skrev:
Hur visar jag att b= ±8 är -8 < b <8, är det bara att skriva så rakt av?

Nej det är inte bara att skriva så rakt av.

Det finns olika sätt att visa att olikheten $b^2<64$ har lösningarna $-8<b<8$

Ett sätt är att göra det grafiskt som Smaragdalena har tipsat om.

Ett annat är att göra det algebraiskt enligt följande:

$b^2<64$

Subtrahera $64$ från båda sidor:

$b^2-64<0$

Konjugatregeln:

$(b+8)(b-8)<0$

För att en produkt av två faktorer ska vara mindre än 0 så måste de båda faktorerna ha olika tecken.

Vi tittar på de båda faktorernas tecken i de relevanta intervallen:

Då $b<-8$ så är faktorn $b+8<0$ och faktorn $b-8<0$ . Båda faktorerna är negativa och alltså är produkten positiv.
Då $-8<b<8$ så är faktorn $b+8>0$ och faktorn $b-8<0$ . Faktorerna har olika tecken och alltså är produkten negativ.
Då $b>8$ så är faktorn $b+8>0$ och faktorn $b-8>0$ . Båda faktorerna är positiva och alltså är produkten positiv.

Det enda intervallet då produkten är negativ är då $-8<b<8$ .

Jahaa, hjärnan stannade efter att ha löst ut b = ± 8 och jag visste inte hur jag skulle resonera mig för att få -8 <b <8. En sista fråga, jag skrev tidigare $b^{2}$ = ± $\sqrt{64}$ , och det är väl något annat från olikheten $b^{2} < 64$ ? Liksom jag ska först beräkna vad b är och sedan ska jag beräkna olikheten? Varför gör man det och beräknar inte bara direkt olikheten?

Olikheter är lite luriga, speciellt om vi måste kvadrera eller dra roten ur saker.

Så det är inte helt enkelt att bara lösa olikheten direkt.

Men i detta fallet gick det bra med hjälp av konjugatregeln.

Okej, men vi behöver använda både $b^{2} = \sqrt{64} o c h b^{2} < 64$ för att veta när b inte har någon reella rötter? Eller ska jag endast använda mig av $b^{2} < 64$ för att beräkna intervallet för b?

Olikheten du ska lösa är $b^2<64$ .

Jag vet inte varifrån du har fått ekvationen $b^2=\sqrt{64}$ .

Och frågan gäller när ursprungsekvationen saknar reella rötter, inte när b saknar reella rötter.

==============

Du kan lösa olikheten på flera olika sätt, till exempel grafiskt som Smaragdalena visade eller algebraiskt med hjälp av konjugatregeln som jag visade.

Är det någon av dessa metoder du tycker känns otydliga så förklarar vi gärna mer.

Frågan lyder :

För vilka värden på den reella koefficienten b har ekvationen x^2 +bx +16=0 inga reella rötter?

Frågar de inte efter värdet?

Jo jag förstod båda metoderna mycket väl!! Tack för det!

Frågan lyder :
För vilka värden på den reella koefficienten b har ekvationen x^2 +bx +16=0 inga reella rötter?
Frågar de inte efter värdet?

Och svaret på den frågan är -8 < b < 8. Om $b=\pm8$ har ekvationen en reell rot (en dubbelrot).

Somm skrev:
För vilka värden på den reella koefficienten b har ekvationen x^2 +bx +16=0 inga reella rötter?

Frågar de inte efter värdet?

Jo, men du undrade ju nyss om "vi behöver använda ... för att veta när b inte har någon reella rötter?".

Menade du b eller något annat?

Ja, så vi ska använda $b^{2} < 64$ för att beräkna när ekvationen inte har någon reell lösning, och det kunde man göra som ni båda nämnde. Tror jag blandade mig bara vid om man skulle använda $b^{2} = \sqrt{64}$ eller den andra, men om man ska beräkna för när det inte er någon reella lösningar så är det olikheten man ska använda sig av. Jag ska se över allt ni har skrivit och återkommer om jag inte förstår något. Men tack ändå för hjälpen!!!!

OK bra. Men bara för att reda ut eventuell kvarstående förvirring:

Ekvationen $b^2=\sqrt{64}$ har inget med uppgiften att göra.

Däremot kan det vara en idé att som ett steg på vägen lösa ekvationen $b^2=64$ .

Yngve skrev:
Somm skrev:
Hur visar jag att b= ±8 är -8 < b <8, är det bara att skriva så rakt av?

Nej det är inte bara att skriva så rakt av.

Det finns olika sätt att visa att olikheten $b^2<64$ har lösningarna $-8<b<8$

Ett sätt är att göra det grafiskt som Smaragdalena har tipsat om.

Ett annat är att göra det algebraiskt enligt följande:

$b^2<64$

Subtrahera $64$ från båda sidor:

$b^2-64<0$

Konjugatregeln:

$(b+8)(b-8)<0$

För att en produkt av två faktorer ska vara mindre än 0 så måste de båda faktorerna ha olika tecken.

Vi tittar på de båda faktorernas tecken i de relevanta intervallen:

Då $b<-8$ så är faktorn $b+8<0$ och faktorn $b-8<0$ . Båda faktorerna är negativa och alltså är produkten positiv.

Då $-8<b<8$ så är faktorn $b+8>0$ och faktorn $b-8<0$ . Faktorerna har olika tecken och alltså är produkten negativ.

Då $b>8$ så är faktorn $b+8>0$ och faktorn $b-8>0$ . Båda faktorerna är positiva och alltså är produkten positiv.

Det enda intervallet då produkten är negativ är då $-8<b<8$ .

De tre sista stegen hänger jag inte riktigt med, hur fick ni att b< -8 och b> 8?

Yngve undersöker vad som sker i de tre olika fallen. Det visar sig att det bara är i intervallet -8 < b < 8 gör att uttrycket (b+8)(b-1) är negativt.

Jahaa okej okej, då hänger jag med!! Tack

Jag vill se vid vilka värden på $b$ som produkten $(b+8)(b-8)$ är negativ respektive positiv.

Jag vet att faktorn $b+8$ byter tecken vid $b=-8$ , dvs att $b+8$ är mindre än 0 då $b<-8$ och större än 0 då $b>-8$

Jag vet att faktorn $b-8$ byter tecken vid $b=8$ , dvs att $b-8$ är mindre än 0 då $b<8$ och större än 0 då $b>8$

Jag delar därför in definitionsmängden för produkten i de tre intervallen ovan och undersöker produktens värde i dessa tre intervall.

Tack så himla mycket för all dessa förklaringar!! Uppskattar det enormt mycket!