1 svar
44 visningar
filippahog är nöjd med hjälpen
filippahog 23
Postad: 4 maj 14:35

Är settet en bas för R^n?

Frågan är att bevisa/motbevisa påståendet:

Jag vet att settet är en bas om settet är linjärt oberoende och spannar R^n, hur kan jag bevisa detta? Kan faktumet att egenvärdena alla är unika hjälpa oss att bevisa att settet är linjärt oberoende?

 

Tack för hjälp

PATENTERAMERA 5519
Postad: 4 maj 16:41

Man kan börja med det enklaste fallet att n = 2. Vi noterar att egenvektorer per definition är skilda från noll.

Vi använder ett motsägelsebevis.

Antag att v1, v2 är linjärt beroende. I så fall har vi att

v2=α1v1 (1), för någon nollskild skalär α1.

Om vi multiplicerar (1) med matrisen A så får vi

λ2v2=λ1α1v1   (2).

Vi utnyttjar (1) i (2) och erhåller.

λ2α1v1=λ1α1v1

λ2-λ1α1v1=0.

Detta är en motsägelse, eftersom VL inte kan vara noll då alla faktorer i VL är skilda från noll. Vårt antagande att mängden v1, v2 är linjärt beroende måste därför vara falskt och mängden är därför linjärt oberoende.

Vare linjärt oberoende mängd om två vektorer är en bas för R2. Så v1, v2 är en bas.

För ett allmänt n kan du jobba på liknande sätt som ovan och utnyttja någon form av induktion. Dvs

Godtyckligt n.

Visa att v1är linjärt oberoende (trivialt).

För k < n antag att v1, v2,, vkär linjärt oberoende och visa att det implicerar att v1, v2,, vk+1 är linjärt oberoende. Då måste v1, v2,, vnvara linjärt oberoende och därmed en bas för Rn.

Svara Avbryt
Close