Är tangenter/normaler de enda som skär vid EN punkt?
Ja detta har jag undrat sen längre tillbaks än då jag lärde mig om derivator.
Min lärare understryker verkligen detta jättehårt med att tangenten skär en kurva i EN punkt (den kan också skära någon annanstans "längre bort", men det struntar jag i, för jag vet inte hur man förklarar det med matte fackord), samma gäller normalen som hon sa också bara skär grafen i en punkt. Men är de de enda?
Jag tänker ju att genom en punkt kan öändligt många olika räta linjer dras! Är bokstavligen alla andra linjer än normalen och tangenten sekanter?
PS Det min lärare svarade på frågan "är normalen och tangenten till en kurva de enda två räta linjerna som bara skär kurvan en punkt?" var JA.
Ja.
Det beror på hur kurvan ser ut.
EDIT: Yngves svar är mycket bättre.
Hej.
Till att börja med så är det vanligare att en tangent tangerar kurvan än att den skär kurvan.
Och en tangent kan mycket väl skära kurvan på ett helt annat ställe än i tangeringspunkten, så det stämmer inte att det måste vara endast en punkt.
Även normaler kan nudda kurvan även på andra ställen än just i skärningspunkten.
Och du har rätt i att du vanligtvis kan dra oändligt många räta linjer som skär en kurva i endast en punkt.
Det jag tror att läraren däremot menade var att det för en given punkt på en given kurva endast finns en tangent och en normal.
(Detta gäller de "snälla" kurvor som förekommer i Matte 3)
Qetsiyah skrev :Är bokstavligen alla andra linjer än normalen och tangenten sekanter?
Det beror på hur kurvan ser ut, men nej det är inte alltid så.
Ta exempelvis grafen till y = x^3.
Det finns oändligt många räta linjer på formen y = kx + 1 som skär x^3- grafen utan att vara vare sig tangenter, normaler eller sekanter.
Yngve skrev :Hej.
Till att börja med så är det vanligare att en tangent tangerar kurvan än att den skär kurvan.
Och en tangent kan mycket väl skära kurvan på ett helt annat ställe än i tangeringspunkten, så det stämmer inte att det måste vara endast en punkt.
Även normaler kan nudda kurvan även på andra ställen än just i skärningspunkten.
Och du har rätt i att du vanligtvis kan dra oändligt många räta linjer som skär en kurva i endast en punkt.
Nej men jag tänker att om vi har en tangent och vrider på den med någon grad som inte är 90 (eller 180 eller 270 eller 360), kommer den då skära grafen på två punkter?
Jag vill bortse från och vet om att den kan skära grafen "någon annanstans".
Qetsiyah skrev :Nej men jag tänker att om vi har en tangent och vrider på den med någon grad som inte är 90 (eller 180 eller 270 eller 360), kommer den då skära grafen på två punkter?
Jag vill bortse från och vet om att den kan skära grafen "någon annanstans".
Vad menar du med "bortse från att den kan skära grafen 'någon annanstans'"?
Den andra punkten är ju "någon annanstans", antingen väldigt nära den första punkten eller väldigt långt bort från den första punkten.
Är det någon speciell typ av grafer du undrar över?
Yngve skrev :Qetsiyah skrev :Nej men jag tänker att om vi har en tangent och vrider på den med någon grad som inte är 90 (eller 180 eller 270 eller 360), kommer den då skära grafen på två punkter?
Jag vill bortse från och vet om att den kan skära grafen "någon annanstans".
Vad menar du med "bortse från att den kan skära grafen 'någon annanstans'"?
Den andra punkten är ju "någon annanstans", antingen väldigt nära den första punkten eller väldigt långt bort från den första punkten.
Är det någon speciell typ av grafer du undrar över?
Med någon annanstans menar jag någonstans relativt långt borta från punkten som vi diskuterar just nu.
Jag undrar över grafer som inte är linjära.
Min fråga, omformulerad är då: om en rätlinje tangerar f(x) vid (a, f(a)) så är det en tangent. Skulle då en rotation (med fast punkt (a, f(a))) av den (inte 90, 180, 270 eller 360 grader) göra att den blev en secant för att den då, på grund av rotationen skär både (a, f(a)) och en närliggande punkt (a+m, f(a+m)), m är då ett litet tal.
Detta blir ju svårt att formulera hursom, vad är en "närliggande punkt" liksom? Jag kan ju inte säga "ja, m är ju litet, så m<1 säger vi" heller.
Men för att vara aningen mer specifik kan jag ju säga att: f(x)=x^3, f'(a) där a>0 skulle ju tangera grafen i första kvadranten och sedan skära grafen igen "någon annanstans" i den tredje kvadranten. Det tycker jag är "någon annanstans" och långt borta från tangeringspunkten (a, f(a)), och det är sådana skärningar jag vill bortse från.
Annars kan man jämföra med animeringen som finns på wikipedia https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Derivata där är ju tangenten inte ritad oändlig lång liksom, då skulle skärningar "någon annanstans" kunna ignoreras.
(Skulle vara intressant om tangenten var tre infinitesimaler lång också)
