Är y3 och y4 också en fundamental mängd av lösningar? (Matematik/Universitet/Övrigt)

Det handlar ifall det finns värden på a₁, a₂, b₁, b₂ sådana att y₃ och y₄ blir lineärt beroende lösningar till diff ekv.

Tomten skrev:
Det handlar ifall det finns värden på a₁, a₂, b₁, b₂ sådana att y₃ och y₄ blir lineärt beroende lösningar till diff ekv.

Ska man hitta dessa värden?

Bump

Undrar du om att visa identiteten med Wronskianen eller om fundamentallösningarna?

AlexMu skrev:
Undrar du om att visa identiteten med Wronskianen eller om fundamentallösningarna?

Ja jag undrar hur jag ska visa indentiteten med Wronskianen samt hur jag ska besvara andra delfrågan om y3 och y4 är fundamentala mängd av lösningar. Jag missade att uppgiften hade två frågor!

Vi kan väl börja med wronskianen, den andra delen följer direkt från det (plus en sats).

Jag ser inget trevligt sätt att göra det förutom att jobba på med algebran. Kan du skriva ut $W[y_3,y_4]$ ?

Tillägg: 13 sep 2026 12:33

Okej, det finns faktiskt ett trevligt sätt, men då måste man hålla på med egenskaper hos determinanten (specifikt att den är multilinjär).

AlexMu skrev:
Vi kan väl börja med wronskianen, den andra delen följer direkt från det (plus en sats).

Jag ser inget trevligt sätt att göra det förutom att jobba på med algebran. Kan du skriva ut $W[y_3,y_4]$ ?

Tillägg: 13 sep 2026 12:33

Okej, det finns faktiskt ett trevligt sätt, men då måste man hålla på med egenskaper hos determinanten (specifikt att den är multilinjär).

Vilken sats som den andra delen följer av menar du?

Här är W[y3,y4] nedan. Hoppss du kan se den

Ja, nu kan du utveckla från definitionen av $y_3, y_4$ och expandera uttrycket. Sedan kan du göra samma sak med VL och se att det blir samma sak (alternativt kika på determinanter + multilinjäritet).

Satsen är den som säger att om $f,g$ är två funktioner som är lösningen till differentialekvationen $y^\prime^\prime + p(t)y^\prime + q(t)y = 0$ så är $W[f,g]=0$ om och endast om $f, g$ är linjärt beroende (bör ha gått igenom på någon föreläsning). Hur är sats denna hjälpsam här?

AlexMu skrev:
Ja, nu kan du utveckla från definitionen av $y_3, y_4$ och expandera uttrycket. Sedan kan du göra samma sak med VL och se att det blir samma sak (alternativt kika på determinanter + multilinjäritet).

Satsen är den som säger att om $f,g$ är två funktioner som är lösningen till differentialekvationen $y^\prime^\prime + p(t)y^\prime + q(t)y = 0$ så är $W[f,g]=0$ om och endast om $f, g$ är linjärt beroende (bör ha gått igenom på någon föreläsning). Hur är sats denna hjälpsam här?

Aa ok såhär fick jag. Hur kommer man vidare nu?

Hm jag vet inte hur denna sats kan tillämpas i vårt problem justnu.

Ignorera satsen tills vi är klara med del 1, tycker jag.

Din utveckling ser rätt ut, kom ihåg nu att $y_3 = a_1y_1+a_2y_2$ och analogt för $y_4$ . Med hjälp av detta kan du nog visa att $VL=HL$ .

AlexMu skrev:
Ignorera satsen tills vi är klara med del 1, tycker jag.

Din utveckling ser rätt ut, kom ihåg nu att $y_3 = a_1y_1+a_2y_2$ och analogt för $y_4$ . Med hjälp av detta kan du nog visa att $VL=HL$ .

Aa ok.

Jag tror inte jag hänger med på hur det blir y3=a1y1+a2y2 ?

Du har visat att VL är $y_3y_4^\prime - y_4y_3^\prime$ , och enligt frågan har vi $y_3=a_1 y_1 + a_2y_2$ och $y_4 = b_1y_1+b_2y_2$ . Insättning i VL ger att

$VL= {\color{blue}y_3}{\color{red}y_4^\prime} - y_4y_3^\prime = {\color{blue}(a_1y_1+a_2y_2)}{\color{red}(b_1y_1^\prime + b_2y_2^\prime)}-y_4y_3^\prime$

Här har jag använt lite färg för att visa vad jag gjort. Densamma för den andra termen (fast jag vill inte skriva ut det då jag tror ekvationen kanske blir längre än en rad i detta inlägg).

Om du nu får fram HL efter förenkling har du visat att VL = HL.

AlexMu skrev:
Du har visat att VL är $y_3y_4^\prime - y_4y_3^\prime$ , och enligt frågan har vi $y_3=a_1 y_1 + a_2y_2$ och $y_4 = b_1y_1+b_2y_2$ . Insättning i VL ger att

$VL= {\color{blue}y_3}{\color{red}y_4^\prime} - y_4y_3^\prime = {\color{blue}(a_1y_1+a_2y_2)}{\color{red}(b_1y_1^\prime + b_2y_2^\prime)}-y_4y_3^\prime$

Här har jag använt lite färg för att visa vad jag gjort. Densamma för den andra termen (fast jag vill inte skriva ut det då jag tror ekvationen kanske blir längre än en rad i detta inlägg).

Om du nu får fram HL efter förenkling har du visat att VL = HL.

Jag antar att HL är omskrivning av uttrycket i bilden ovan? Hm kan man säga att y3=(a1y1+a2y2) och y4 är ju som du skrev ovan? Vet ej om vi har visat att VL=HL gäller när vi har matchat y3 och y4 med rätt uttryck.

Du ska ju visa att VL = HL. Då måste vi börja från en riktning och jobba med algebra tills vi får fram det andra ledet. Om vi utvecklar VL med alla definitioner och förenklar lite så bör du få fram HL. Jag har inte gjort någon omskrivning på HL någonstans i mitt inlägg, har bara ändrat i VL.

AlexMu skrev:
Du ska ju visa att VL = HL. Då måste vi börja från en riktning och jobba med algebra tills vi får fram det andra ledet. Om vi utvecklar VL med alla definitioner och förenklar lite så bör du få fram HL. Jag har inte gjort någon omskrivning på HL någonstans i mitt inlägg, har bara ändrat i VL.

Jag har ju använt W av y3 och y4 på VL och sen även W av y1 och y2 på HL multiplicerad med den där faktor uttrycket. Om jag förstår dig rätt så ska vi jobba med HL i #14 tills vi får det att vara lika med VL ?

Ja, exempelvis. Det jag sagt är att jobba med VL tills vi får HL, det bör vara lättare. Att visa likhet mellan två saker brukar vi ju oftast göra såhär. Om vi ska visa att att $(a-3)(a+3) =a^2-9$ börjar vi exempelvis med VL och skriver $VL= (a-3)(a+3)=a^2+3a-3a-9=a^2-9=HL$ . Det vi gör här är exakt samma princip med jobbigare uttryck.

AlexMu skrev:
Ja, exempelvis. Det jag sagt är att jobba med VL tills vi får HL, det bör vara lättare. Att visa likhet mellan två saker brukar vi ju oftast göra såhär. Om vi ska visa att att $(a-3)(a+3) =a^2-9$ börjar vi exempelvis med VL och skriver $VL= (a-3)(a+3)=a^2+3a-3a-9=a^2-9=HL$ . Det vi gör här är exakt samma princip med jobbigare uttryck.

Ok jag fattar. Men vårt VL är typ redan klar om du syftar på W[y3,y,4] ? Den blir inte typ mer än y3y4'-y4y3'. Jag har inte förenklat uttrycket i HL som du gjorde i #13.

Men vi har ju fått givet från frågan hur $y_3,y_4$ kan skrivas uttryckt i $y_1,y_2$ . Det är en jätteviktig del som inte kan ignoreras. Du måste använda det någonstans och det är lättare att göra det i VL. Dvs använd att $y_3 = a_1y_1+ a_2y_2$ och analogt för $y_4$ . Då kommer inte VL vara ”helt förenklat längre” och du kan komma längre med det.

Tillägg: 15 sep 2026 08:35

Och detta är vad jag gjorde i #13 (så kan du se explicit vad jag menar). De färgade delarna är representerar att jag substituerade $y_3$ osv mot det vi fått givet i frågan. Jag har inte rört HL någonstans i mina inlägg.

AlexMu skrev:
Men vi har ju fått givet från frågan hur $y_3,y_4$ kan skrivas uttryckt i $y_1,y_2$ . Det är en jätteviktig del som inte kan ignoreras. Du måste använda det någonstans och det är lättare att göra det i VL. Dvs använd att $y_3 = a_1y_1+ a_2y_2$ och analogt för $y_4$ . Då kommer inte VL vara ”helt förenklat längre” och du kan komma längre med det.

Tillägg: 15 sep 2026 08:35

Och detta är vad jag gjorde i #13. De färgade delarna är saker jag substituerade bort enligt det vi fått givet i frågan. Jag har inte rört HL någonstans i mina inlägg.

Jaha oj jag har missat att läsa om uppgiften. Men såhär fick jag i alla fall. Men nu ser jag även från uppgiften att y3 och y4 är uttryckta i y1 och y2 (missade detta my bad lol). Så man kan bara lägga in det i VL och se att vi får samma förenklade uttrycket i HL?

Jag jobbade nu med VL efter att ha lagt y3 och y4 uttryckta i y1 och y2, men ser ej likhet ännu

Ja, jobba med VL tills du får samma som i HL.

Du kan också räkna ut vad $y_3^\prime, y_4^\prime$ är. Sedan kan du substituera in det i VL! (Blir nog ganska jobbigt, men det kommer funka)