arctan(2+sqrt(3)) utan miniräknare

Räcker det inte med att använda additionsformeln för $\tan$ ? Se nedan:

En annat sätt:

Rita en rätvinklig triangel där en katet har längden 1 och den andra har längden 2+sqrt(3). I den triangeln har du en vinkel med tangens 2+sqrt(3). Markera den och kalla den v.

Räkna ut längden på hypotenusan med Pythagoras sats.

Använd sidlängderna för att beräkna cos(v). Använd formeln för dubbla vinkeln för att beräkna cos(2v). Nu bör du känna igen dig!

Fördelen med den här metoden här att du kan lösa uppgiften utan annat än papper och penna om du bara kan formeln för cos(2v) utantill.

Hej!

Rita en rätvinklig triangel ABC där vinkeln ABC är rät och sidan AB är 1 lång och sidan BC är $2+\sqrt{3}$ lång.

Du vill bestämma vinkeln BAC, vars tangensvärde är $\frac{2+\sqrt{3}}{1}.$

Markera punkten D på sidan BC så att sträckan BD är 1 lång och sträckan DC är $1+\sqrt{3}$ lång.

Vinkeln $BAC$ kan skrivas som summan $45^\circ + v$, där $v$ betecknar vinkeln DAC. Den 45-gradiga vinkeln ADB är yttervinkel till triangeln ADC och är därför lika med summan $v+u$, där $u$ betecknar vinkeln ACB.

Det gäller att

    $\tan u = \frac{1}{2+\sqrt{3}}$ och $u = \frac{\pi}{4} - v.$

Additionssatsen för tangensfunktionen ger att

    $\tan(\frac{\pi}{4} - v) = \frac{1-\tan v}{1+\tan v}$

som i sin tur ger dig

    $\tan v = \frac{1+\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$

som du kan förenkla till $\tan v = \frac{1}{\sqrt{3}}.$ Detta visar att vinkeln $v = \frac{\pi}{6}$ så att den sökta vinkeln är lika med summan

    $BAC = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12}.$

Albiki

Tack för svar! Fin lösning Albiki :)