10 svar
155 visningar
Micimacko är nöjd med hjälpen!
Micimacko 401
Postad: 20 jul 2019

Arctan i kvadrat

Jag typ ”löste” a genom att rita, och se att linjernas lutning blir -1 tsm. Men hur kommer b o och c in?

Albiki 4130
Postad: 20 jul 2019 Redigerad: 20 jul 2019

Vad säger Övning 1.1a och Övning 1.1b? Uppgiften som du citerat är Övning 1.11.

Använd din bild. Vill du ha mer specifik hjälp, så lägg in bilden här så att vi t ex vet vad du kallar de olika hörnen i din triangel.

Laguna Online 5394
Postad: 21 jul 2019

Vad betyder "tsm"?

tomast80 2467
Postad: 21 jul 2019
Laguna skrev:

Vad betyder "tsm"?

Enligt slangopedia (se nedan) är det en förkortning för tillsammans.

http://www.slangopedia.se/ordlista/?ord=tsm

AlvinB 3181
Postad: 21 jul 2019 Redigerad: 21 jul 2019

Jag blev lite nyfiken på det här. Jag ser ju att b)-likheten ramlar ut exempelvis genom:

argz3+argz3z1+argz1=argz3·z3z1·z1\arg\left(z_3\right)+\arg\left(\dfrac{z_3}{z_1}\right)+\arg\left(z_1\right)=\arg\left(z_3\cdot \dfrac{z_3}{z_1}\cdot z_1\right)

arg4+4i+arg4+4i3+i+arg3+i=arg4+4i·3+i·4+4i3+i\arg\left(4+4i\right)+\arg\left(\dfrac{4+4i}{3+i}\right)+\arg\left(3+i\right)=\arg\left(\left(4+4i\right)\cdot\cancel{\left(3+i\right)}\cdot\dfrac{4+4i}{\cancel{3+i}}\right)

arg4+4i+arg452+i+arg3+i=arg4+4i2\arg\left(4+4i\right)+\arg\left(\dfrac{4}{5}\left(2+i\right)\right)+\arg\left(3+i\right)=\arg\left(\left(4+4i\right)^2\right)

arctan44+arctan12+arctan13=2arctan44\arctan\left(\dfrac{4}{4}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{2}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)=2\arctan\left(\dfrac{4}{4}\right)

arctan1+arctan12+arctan13=π2\arctan\left(1\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{2}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\pi}{2}

Men hur den halva kvadraten är särskilt behjälplig för att komma fram till något sådant här ser jag inte riktigt..

AlvinB 3181
Postad: 21 jul 2019

Nu såg jag det.. Det jag skrev i mitt förra inlägg är visserligen ett sätt att visa likheten, men det har inte så stark koppling till kvadraten. Det finns nämligen ett mycket snyggt rent geometriskt sätt att visa det på. För att upptäcka det rekommenderar jag att man sätter ut lite prickar i sitt koordinatsystem:

Lösning

Då kvadratens hörn är en rät vinkel måste de tre vinklarnas summa vara π2\frac{\pi}{2}:

arctan1+arctan12+arctan13=π2\arctan\left(1\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{2}\right)+\arctan\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{\pi}{2}

tomast80 2467
Postad: 21 jul 2019

Kanske inte den elegantaste bilden, men tror man kan komma fram till att vinkelsumman är π2\frac{\pi}{2} medelst den.

Micimacko 401
Postad: 21 jul 2019

Jag tror albiki var på rätt spår 😂🙈 Försöker klura ut b själv en stund, men c hade jag aldrig löst själv kan jag lova 😱 Vet inte ens vad man skulle vilja ha ett så fult svar till. Lämnar den som kluring sålänge 😜

Albiki 4130
Postad: 21 jul 2019 Redigerad: 21 jul 2019

Hej!

Med hjälp av 1.1 a kan man skriva multiplikation dels på polär form dels på rektangulär form.

    (1+i)(2+i)(3+i)=2·5·10ei(arctan1+arctan12+arctan13)=10ei(arctan1+arctan12+arctan13)(1+i)(2+i)(3+i)=\sqrt{2\cdot 5\cdot 10}e^{i(\arctan 1 + \arctan \frac{1}{2} + \arctan \frac{1}{3})} = 10e^{i(\arctan 1+\arctan \frac{1}{2}+\arctan\frac{1}{3})}

och sedan gäller det

    (1+i)(2+i)=2+i+i2-1=1+i3(1+i)(2+i) = 2+i+i2-1 = 1+i3 så att (1+i3)(3+i)=3+i+9i-3=10i(1+i3)(3+i) = 3+i+9i-3 = 10i

vilket visar att

    arctan1+arctan12+arctan13=π/2+2πn\arctan 1 + \arctan \frac{1}{2}+\arctan \frac{1}{3} = \pi/2 + 2\pi n,

men n=0n=0 eftersom summan är mindre än 3arctan1=3π/43\arctan 1 = 3\pi/4 och större än arctan1=π/4\arctan 1 = \pi/4.

AlvinB 3181
Postad: 21 jul 2019

Detta var ju lustigt.. Vi kollade på helt fel uppgift, men ändå gick det att ta fram en elegant lösning. :-)

Svara Avbryt
Close