are y3 and y4 also a fundamental set of solutions?

Du kan använda räknereglerna för determinanten för att hitta sambandet mellan wronskianen för y3 och y4 på ena sidan och wronskianen för y1 och y2 på andra sidan då du vet att $y_3$ respektive $y_4$ är linjärkombinationer av $y_1$ och $y_2$.

LuMa07 skrev:

Du kan använda räknereglerna för determinanten för att hitta sambandet mellan wronskianen för y3 och y4 på ena sidan och wronskianen för y1 och y2 på andra sidan då du vet att $y_3$ respektive $y_4$ är linjärkombinationer av $y_1$ och $y_2$.

Jag tänker y3 och y4 är ju fundamental mängd av lösningar till ekvationen om (a1b2-a2b1) är skild från 0 eller om (y1y2'-y2y1') är det. Dock svarar facit med att (a1b2-a2b1) ska vara skild från 0 som jag tänkte men inte den andra termen, varför är det så?

Det står givet i uppgiften att $y_1$ och $y_2$ bildar en fundamental lösningsmängd. Det är alltså givet från början att $W[y_1, y_2] \ne 0$. Då återstår att $a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0$ krävs om $\{y_3, y_4\}$ också ska vara en fundamental lösningsmängd.

Enligt uppgiftens frågeställning skall du visa att $W[y_3, y_4] = (a_1 b_2 - a_2 b_1) W[y_1, y_2]$. Det har du inte gjort! (Åtminstone inte i den infogade bilden)

LuMa07 skrev:

Det står givet i uppgiften att $y_1$ och $y_2$ bildar en fundamental lösningsmängd. Det är alltså givet från början att $W[y_1, y_2] \ne 0$. Då återstår att $a_1 b_2 - a_2 b_1 \ne 0$ krävs om $\{y_3, y_4\}$ också ska vara en fundamental lösningsmängd.

 

Enligt uppgiftens frågeställning skall du visa att $W[y_3, y_4] = (a_1 b_2 - a_2 b_1) W[y_1, y_2]$. Det har du inte gjort! (Åtminstone inte i den infogade bilden)

Jaha ok. Ja precis

Hm jag vet inte riktigt hur man skall visa det.  Men kan det vara att man utför wronskianen för VL och kommer då fram till att HL gäller?

Jag kommer inte längre än såhär och andra termen på slutet tar ut varandra inom paretensen. Vad gjorde jag för fel?

Varför inte använda räknelagarna för determinanträkning? I synnerhet att determinanten är kolumnvis linjär.

$\det \begin{pmatrix} a_1 y_1 + a_2y_2 & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ a_1 y_1^\prime + a_2y_2^\prime & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix} = a_1 \det \begin{pmatrix} y_1 & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ y_1^\prime & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix} + a_2 \det \begin{pmatrix} y_2 & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ y_2^\prime & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix}$

På liknande sätt utnyttjas linjäritet i andra kolumnen.

$\det \begin{pmatrix} * & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ * & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix} = b_1 \det \begin{pmatrix} * & y_1\\ * & y_1^\prime\end{pmatrix} + b_2 \det \begin{pmatrix} * & y_2 \\ * & y_2^\prime\end{pmatrix}$.

På så sätt får man en summa av fyra determinanter. Två av dem är noll och de återstående två är $W[y_1,y_2]$ respektive $-W[y_1,y_2]$

LuMa07 skrev:

Varför inte använda räknelagarna för determinanträkning? I synnerhet att determinanten är kolumnvis linjär.

$\det \begin{pmatrix} a_1 y_1 + a_2y_2 & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ a_1 y_1^\prime + a_2y_2^\prime & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix} = a_1 \det \begin{pmatrix} y_1 & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ y_1^\prime & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix} + a_2 \det \begin{pmatrix} y_2 & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ y_2^\prime & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix}$

På liknande sätt utnyttjas linjäritet i andra kolumnen.

$\det \begin{pmatrix} * & b_1 y_1 + b_2y_2 \\ * & b_1 y_1^\prime + b_2y_2^\prime\end{pmatrix} = b_1 \det \begin{pmatrix} * & y_1\\ * & y_1^\prime\end{pmatrix} + b_2 \det \begin{pmatrix} * & y_2 \\ * & y_2^\prime\end{pmatrix}$.

På så sätt får man en summa av fyra determinanter. Två av dem är noll och de återstående två är $W[y_1,y_2]$ respektive $-W[y_1,y_2]$

Jag lyckades lösa uppgiften och insåg att man behövde bryta ut minustecken på andra termen för att få W[y1,y2]