Area
Rita kurvorna 𝑦 = 𝑥^3 och 𝑦 = 2𝑥 − 𝑥^2 i samma koordinatsystem. Kurvorna begränsar tillsammans två ändliga områden. Bestäm summan av de två områdenas areor. Integrationsgränserna skall bestämmas algebraiskt. Svara exakt.
såhär har jag börjat, är det rätt? Hur går jag sen vidare?
Början ser bra ut, sätt funktionsuttrycken lika med varandra. Kalla x3 för f(x) och den andra för g(x) så är det lättare att tala om dem.
x3 = 2x–x2 (obs! du skrev 2x–x så g(x) är felritad!)
x3+x2–2x = 0
x(x2+x–2) = 0
Fall 1: x = 0
Fall 2: x2+x–2 = 0 ger x = –2 eller x = 1
graferna till f(x) och g(x) skär varandra för x = –2, 0 och 1.
Vi inser att eftersom f(–1) > g(–1) ligger f över g i intervallet x mellan –2 och 0.
Det områdets area (säg A) är Integralen av (f(x) –g(x))dx från –2 till 0.
För x mellan 0 och 1 ligger g över f, så det områdets area (B) är
Integral (g(x)–f(x))dx från 0 till 1.
Kolla att jag räknat rätt. Beräkna integralerna. Bestäm A+B.
Vad betyder fall 1 och 2?
ska jag sen alltså göra 2 integraler och ta de - varandra?
Nej, du skall addera A och B ovan.
börja med att rita om grafen med rätt funktion så blir det lättare.
Stämmer detta?
Är den gröna f och den röda g?
Då stämmer det bra, bara att räkna ut A och B.
Hur räknar man ut den primitiva funktionen av f(x) och g(x)? Är det endast x som ska skrivas som primitiv funktion alltså x^2/2
För området a är ju funktionen du skall integrera :
f-g
vad är f-g ?
Nu förstår jag inte. F-g? Inget x?
Jodå!
f=x^3
g=2x-x^2
vad blir f-g ?
Såhär? Sen sätter jag in värdena. Gör samma sak på B och tar dem + varandra?
En till fråga, uppe skrev du att ”graferna till f(x) och g(c) skär varandra för x=-2,0 och 1 men sen stog de -1, är det 1,-1 som den skär i den andra?
Fast x2 skall byta tecken det är - -
Skärningspunkterna för A är -2 och 0.
för B 0 och 1.
Stämmer detta? Och är 11,05 det slutgiltiga svaret?
Nästan, jag menade att x2termen i g har negativt tecken,
dvs det skall vara x3 - 2x + x2.
alltbannat verkar stämma.
alltså f-g = x3 - (2x-x2) = x3 - 2x + x2
Är det endast på A eller är det fel på B oxå?
Bara A.
Stämmer detta?
Allt verkar bra fram till strecken:
Understa först:
1/3 är inte samma som 0.3
istället:
1-1/3-1/4 = 1 - 4/12 - 3/12 = 5/12
Översta:
integralen blir ju:
primitiv (0) - primitiv(-2) =
0 - ( (-2)^4 /4 - 2*(-2)^2 / 2 + (-2)^3 / 3 ) =
- ( 4 - 4 + - 8/3 ) = 8/3
här tror jag du missat minustecknecknet i bold .
hoppas att detta blev rätt nu.
Jag förstår inte hur du menar på den översta. Den understa fattar jag, ska jag då räkna ut 5/12 till 0,416 för att sen kunna addera dom?
För den översta, A, om du tittar till vänster om det röda strecket:
där står den primitiva funktionen, den är korrekt!
ok?
Jag menar, är du med?
Yes det förstår jag
Toppen, då går vi vidare.
den primitiva funktionen skall beröknas för
0
och sen för -2
man tar sedan primitiv(0) - primitiv(-2)
ok>så långt?
Ja alltså att det är en 0:a framför då värdet blir 0 när man sätter in 0?
Ja, om jag förstår vad du menar,
primitiv(0) blir 0, alla termer är ju 0.
då kvarstår
- primitiv(-2)
ok?
Yes, jag förstod hur du räknade nu när de var ett 0-() alltså byter de tecken?!
Så A= 8/3 och B= 5/12
ska jag då skriva:
32/12 + 5/12 = 37/12 = 3,083 ae
eller ska jag räkna ut dem var för sig först så:
8/3= 2,6
5/12 = 0,416
2,6+ 0,416 = 3,016 ae
Du skall svara exakt enl uppgiften så 37/12 ae blir bra.
Okej. Så det är svaret? Inget mer jag behöver göra?
Nix, allt klart.
svar: arean är 37/12 ae.
Tack så mycket för hjälpen! Första gången en A- fråga kändes lätt
