Area för cirkel

Din ritade cirkel har inte medelpunkten (0,1).

Du utgår från en felaktig ekvation för cirkeln.

${\left(x-0\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=1^2$

ej

${\left(x-0\right)}^2+{\left(x-1\right)}^2=1^2$

Ok. Hur kmr jag vidare?

Jag satte in y=x√x i cirkelns ekvation, och fick då fram två värden på x: 0 och 1.
Skärningspunkter blir (0,0) och (1,1)

Arean på den blå kvadraten är 1 ae
En fjärdedel av cirkelarean (grönt) är $\frac{\pi }{4}$ae

Skillnaden (rött) är 1 - $\frac{\pi }{4}$

Ytan under den gröna linjen är ${\int }_0^1 x^{1,5}dx$= $\left[\begin{array}{c}{x}^{2,5}\\ 2,5\end{array}\right]$0 till1 = 1/2,5 = 2/5

Ytan mellan den gröna linjen och cirkelns omkrets = 2/5 - (1-$\frac{\pi }{4}$) = $\frac{\pi }{4}$-3/5

Vore bra om du kunde förtydliga några punkter i din uträkning.

(1) Hur kom du fan till att en fjärdedel av cirkelns area är pi/4? Vad händer med radien? 

(2)vad är det du tar skillnaden? När du skriver (1-pi/4)? 

Kvadraten med sidan 1 har ytan 1 ae (omkretsen är blåmarkerad).

En cirkels area är $\pi$$r^2$. radien är 1 och medelpunkten är (0,1)

Arean blir då$\pi$ ae, och en fjärdedels area därför $\frac{\pi }{4}$(grönmarkerad)

 (1-pi/4) är kvadratens yta minus en fjärdedels cirkelarea. Det blir den röda ytan .

Till sist beräknas ytan under kurvan y=x√x vilket är integralen i min beräkning. Jag får det till 2/5.

Men det är inte hela ytan under den gröna linjen som ska beräknas utan bara ytan mellan den gröna linjen och cirkelns omkrets mellan x=0 och x=1. Så därför måste den röda ytan dras ifrån ytan under den gröna kurvan. Kvar blir då ytan av det mindre området.

Hör av dig om något fortfarande är oklart.

Det här steget förstod jag inte riktigt

”Arean blir då pir^2 ae, och en fjärdedels area därför π4π4(grönmarkerad)”?

Bra att du frågar om det som inte är klart.

En cirkels area är π*r^2. Eftersom radien är 1, så blir cirkelns yta π areaenheter.

Vi tittar på en fjärdedel av cirkelns area. Den blir då π/4 ae. Det är den ytan som  är grönmarkerad (en fjärdedels cirkel).

Genom att utgå ifrån den blåa kvadratens yta och dra bort den gröna ytan, så får vi den röda ytan.
Med hjälp av integralen får vi fram ytan under den gröna linjen. Och det som ska beräknas är cirkelsektorn. Alltså integralens yta minus den röda ytan.

Hur vet man att grafen y=rotenur(x)*x delar cirkeln i en fjärdedel?

Är svaret 0.785ae?

Katarina149 skrev:

Hur vet man att grafen y=rotenur(x)*x delar cirkeln i en fjärdedel?

Det gör den inte. Det är det gröna området som är en fjärdedel av cirkelskivan.

Är svaret 0.785ae?

Nej, hur kom du fram till det?

Du har hittat cirkelns ekvation: (x−0)^2+(y−1)^2=1^2. Den har radien 1 och centrum i (0,1)
Kurvan y=x√x delar cirkeln i två delar, och arean av den mindre ska beräknas.
Det är den gula arean i bilden:
Om man beräknar integralen av kurvan y=x√x mellan x=0 och x=1 , så får man hela arean mellan kurvan och ner till x-axeln, alltså både den gula och röda arean nedan. Så det gäller att räkna ut hur stor den röda arean är, och dra ifrån det värdet från resultatet av integralen. 
Jag tänkte på följande sätt för att få fram värdet på den röda arean, se bilden nedan.
Vi kan glömma kurvan y=x√x ett tag och bara titta på de gråa och röda ytorna.
De gråa och röda ytorna bildar tillsammans en kvadrat med sidan 1. Arean på kvadraten är då 1 ae.
Den gråa ytan är en fjärdedel av hela cirkelns yta. En cirkels area = $\pi$*r^2, och när r=1, så blir cirkelns area = π. Och den gråa arean är en fjärdedel av cirkeln, alltså π/4 ae.
Nu kan vi få fram den röda arean genom att utgå från kvadratens area (1 ae) och minska med den gråa arean (π/4 ae)
Alltså, den röda arean är (1 - π/4) ae

Det som nu återstår är att beräkna integralen av kurvan y=x√x mellan x=0 och x=1, och dra ifrån den röda arean. Då har du fått fram arean som efterfrågas (gula arean i första bilden).

Hoppas du ser hur det hänger ihop, återkom annars.

Jag får att arean blir 0.1854ae tror att jag nu har förstått

Låter bra. Jag får samma svar, pi/4-3/5.

Det är bara att fråga om något är oklart.