Area mellan en cirkel och triangel

Om du drar en linje från cirkelns medelpunkt ut (upp) till tangeringspunkten mellan cirkeln och triangelns högra sida - vilken blir vinkeln mellan linjen och sidan ?
Betrakta sedan den triangel du nu skapat - vilka egenskaper har den ?

Henning skrev:

Om du drar en linje från cirkelns medelpunkt ut (upp) till tangeringspunkten mellan cirkeln och triangelns högra sida - vilken blir vinkeln mellan linjen och sidan ?
Betrakta sedan den triangel du nu skapat - vilka egenskaper har den ?

menar du att jag fortsätter på den linjen som kommer från det vänstra hörnet, som en bisektris? så att den bildar 90 grader? 

Ja, det blir det, i detta fallet.

Henning skrev:

Ja, det blir det, i detta fallet.

yes, jag har redan testat det också. Försökte få fram x, alltså hypotenusan och närliggande katet x/2, men fick att x = 5, så kan inte stämma. 

Vilka vinklar har du i den nya triangeln uppe till höger?

Henning skrev:

Vilka vinklar har du i den nya triangeln uppe till höger?

Vinklarna jag fick var, 60 grader, 30 grader och 90 grader. Uppe till höger fick jag 90 grader. 

Precis. Du har alltså en 30,60 90 graderstriangel  även där och kan då få fram hur lång hypotenusan är uttryckt i radien r.
Vad får du där?

Du har ju ritat en sådan triangel i dina anteckningar, som visar sambandet mellan sidorna i en sån triangel

Henning skrev:

Du har ju ritat en sådan triangel i dina anteckningar, som visar sambandet mellan sidorna i en sån triangel

Jag precis. (Sorry att jag var seg, barnen vaknade till) 

Jag fick r till 16 cm. tog cos 60 = 8/x? 

Okej, helt rätt. Jag tänkte uttrycka i radien,r , dvs får då 2r
Höjden i triangeln blir då 3r (24 cm).
Om du nu tittar på på stora triangeln och kallar basen (sidan) för 2s - Då har du en stor rätvinklig triangel med en sida halva basen) som är s och den andra (höjden) som är 3r. Kan du nu få ett samband mellan s och 3r? (sidor i en special-triangel som ovan)

Dessa sidor, s och 3r, är den korta resp långa kateten i en 30,60 90-graderstriangel och förhållandet mellan dessa är enligt din figur $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Då kan du skriva  $\frac{s}{3r}=\frac{1}{\sqrt{3}} vilket ger s=\frac{3r}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}·\sqrt{3}·r}{\sqrt{3}}=r·\sqrt{3}$

Så nu kan du teckna triangelns area uttryckt i r, $A_t$,  samt förstås cirkelns area uttryckt i r ,$A_c$
För att slutligen bilda den sökta arean A som skillnaden mellan dessa.
Allt uttryckt i r (en mer allmän lösning) för att till slut sätta r=8 cm

Henning skrev:

Dessa sidor, s och 3r, är den korta resp långa kateten i en 30,60 90-graderstriangel och förhållandet mellan dessa är enligt din figur $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Då kan du skriva  $\frac{s}{3r}=\frac{1}{\sqrt{3}} vilket ger s=\frac{3r}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}·\sqrt{3}·r}{\sqrt{3}}=r·\sqrt{3}$

Så nu kan du teckna triangelns area uttryckt i r, $A_t$,  samt förstås cirkelns area uttryckt i r ,$A_c$
För att slutligen bilda den sökta arean A som skillnaden mellan dessa.
Allt uttryckt i r (en mer allmän lösning) för att till slut sätta r=8 cm

Ska räkna på det och försöka komma fram till ett svar, så återkommer jag med svaret imorgon. Tack så jättemycket för hjälpen! 

Henning skrev:

Dessa sidor, s och 3r, är den korta resp långa kateten i en 30,60 90-graderstriangel och förhållandet mellan dessa är enligt din figur $\frac{1}{\sqrt{3}}$
Då kan du skriva  $\frac{s}{3r}=\frac{1}{\sqrt{3}} vilket ger s=\frac{3r}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}·\sqrt{3}·r}{\sqrt{3}}=r·\sqrt{3}$

Så nu kan du teckna triangelns area uttryckt i r, $A_t$,  samt förstås cirkelns area uttryckt i r ,$A_c$
För att slutligen bilda den sökta arean A som skillnaden mellan dessa.
Allt uttryckt i r (en mer allmän lösning) för att till slut sätta r=8 cm

Med snabbuträkningar nu på morgonen så får jag basen i rätvinklig triangel avrundat till 13,9cm. Hypotenusan blir då 27,8 cm. Sedan räknade ut A_t= b*h/2= 27,8 * 24 /2 = 333,6 = 334cm²   A_c=200,99cm² =201cm²   A_t-A_c=132,61cm² =133cm², alltså den skuggade arean blir 133cm².

Dina beräkningar är i det stora hela rätt - men du får avrundningsfel på vägen.

Om du räknar exakt så länge som möjligt och sätter in värde på r i slutet så får du:

$A_t=\frac{b·h}{2}=\frac{2r\sqrt{3}·3r}{2}=r^2·3\sqrt{3}$

$A_c=\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2$

Slutligen $A_t-A_c=r^2·3\sqrt{3}-{\mathrm{\pi r}}^2={\mathrm{r}}^2·(3\sqrt{3}-\mathrm{\pi })$

Detta ger med r=8 $arean 131,49 \approx 131 {cm}^2$

Henning skrev:

Dina beräkningar är i det stora hela rätt - men du får avrundningsfel på vägen.

Om du räknar exakt så länge som möjligt och sätter in värde på r i slutet så får du:

$A_t=\frac{b·h}{2}=\frac{2r\sqrt{3}·3r}{2}=r^2·3\sqrt{3}$

$A_c=\mathrm{\pi } {\mathrm{r}}^2$

Slutligen $A_t-A_c=r^2·3\sqrt{3}-{\mathrm{\pi r}}^2={\mathrm{r}}^2·(3\sqrt{3}-\mathrm{\pi })$

Detta ger med r=8 $arean 131,49 \approx 131 {cm}^2$

Jag ser. Ska tänka på det i fortsättningen. Tack så mycket för hjälpen!!