6 svar
45 visningar
Dkcre behöver inte mer hjälp
Dkcre Online 1687
Postad: 28 nov 20:33

Areasatsen bevis

Hallå, behöver lite hjälp med att förstå areasatsen.. 

Alla bevis jag läser använder sig av rätvinkliga trianglar i en godtycklig triangel för att visa areasambandet..

Typ i figuren nedan kan man skriva att h = bSINA

Och h = aSINB

Då är det superlogiskt att arean blir cbSINA/2 och caSINB/2. Men tycker tycker inte abSINC/2 är speciellt logiskt. Då ska alltså b×SINC = h, men det stämmer inte.. så, ja, varför är det sant undrar jag. 

AlexMu 288
Postad: 28 nov 21:03 Redigerad: 28 nov 21:05

Vi kallar punkten med den räta vinkeln för D. 
Först kan vi börja med att hitta en formel för arean med längderna i bilden. Basen gånger höjden/2 ger att 
Area=hc2\displaystyle \text{Area} = \frac{hc}2
För att motivera anledningen till att hitta areasatsen kan vi säga att vi vill byta ut hh eftersom höjden kan ofta vara lite strulig att få fram i en triangel. Därför är det ofta enklare att ha en areaformer som uttryckt i sidlängderna. 

Om vi då kollar på den rätvinkliga triangeln ACD:

får vi att sinA=hb\displaystyle \sin{A} = \frac hb
Alltså är h=bsinAh = b\sin{A}. Om vi byter ut hh i formeln för area från förr får vi 
Area=bcsinA2\displaystyle \text{Area} = \frac{bc\sin{A}}2

Precis på samma sätt kan vi kolla på den andra rätvinkliga triangeln i bilden. Alltså BCD:

Då får vi att sinB=ha\displaystyle\sin{B} = \frac ha \iff h=asinBh = a\sin{B} vilket igen, ger att Area=acsinB2\displaystyle \text{Area} = \frac{ac \sin{B}}2

 

Ber om ursäkt! Missade att du frågade om sin C

Dkcre Online 1687
Postad: 28 nov 21:06 Redigerad: 28 nov 21:07

Hej Alex, 

Ja, absolut. Men det sista sambandet, abSIN(C)/2, vart kommer det ifrån?

Det där beviset lyfter bara två samband, hittar inte någonstans där man bevisar det sista..Eller är det sista så självklart på något sätt att det inte behöver förklaras?

Ah, såg din kommentar nu. Skulle ha uttryckt det tidigare i inlägget..

AlexMu 288
Postad: 28 nov 21:07 Redigerad: 28 nov 21:14
Dkcre skrev:

Hej Alex, 

Ja, absolut. Men det sista sambandet, abSIN(C)/2, vart kommer det ifrån?

Det där beviset lyfter bara två samband, hittar inte någonstans där man bevisar det sista..Eller är det sista så självklart på något sätt att det inte behöver förklaras?

Istället för att dra höjden från vinkeln C, kan vi lika gärna dra en linje från A eller B och på så sätt kan vi visa fallet för C. Vi kan använda samma triangel för det, kanske bara blir lite knöligt med hur det ser ut när det är utritat. 

Det tredje fallet följer också från sinussatsen, sinAa=sinBb=sinCc\displaystyle \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c
Om vi utgår från (jag kommer använda TT för att representera arean av triangeln)

T=bcsinA2 2T=bcsinA\displaystyle T = \frac{bc\sin{A}}{2} \iff  2T= bc\sin{A}. Om vi delar med aa på båda sidor får vi 
2Ta=bcsinAa=bcsinCc\displaystyle \frac{2T}a = \frac{bc \sin{A}}a = \frac{bc \sin{C}}c
Om vi löser ut TT får vi att T=absinC2\displaystyle T = \frac{ab \sin{C}}2

Dock tror jag inte att man ska använda sinussatsen för att bevisa areasatsen, de säger mycket liknande saker. Men det är intressant att se sambanden!

Trinity2 1985
Postad: 28 nov 21:15

Drag en ny höjd

Dkcre Online 1687
Postad: 28 nov 22:27
AlexMu skrev:
Dkcre skrev:

Hej Alex, 

Ja, absolut. Men det sista sambandet, abSIN(C)/2, vart kommer det ifrån?

Det där beviset lyfter bara två samband, hittar inte någonstans där man bevisar det sista..Eller är det sista så självklart på något sätt att det inte behöver förklaras?

Istället för att dra höjden från vinkeln C, kan vi lika gärna dra en linje från A eller B och på så sätt kan vi visa fallet för C. Vi kan använda samma triangel för det, kanske bara blir lite knöligt med hur det ser ut när det är utritat. 

Det tredje fallet följer också från sinussatsen, sinAa=sinBb=sinCc\displaystyle \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c
Om vi utgår från (jag kommer använda TT för att representera arean av triangeln)

T=bcsinA2 2T=bcsinA\displaystyle T = \frac{bc\sin{A}}{2} \iff  2T= bc\sin{A}. Om vi delar med aa på båda sidor får vi 
2Ta=bcsinAa=bcsinCc\displaystyle \frac{2T}a = \frac{bc \sin{A}}a = \frac{bc \sin{C}}c
Om vi löser ut TT får vi att T=absinC2\displaystyle T = \frac{ab \sin{C}}2

Dock tror jag inte att man ska använda sinussatsen för att bevisa areasatsen, de säger mycket liknande saker. Men det är intressant att se sambanden!

Fattar, tack 👍

Dkcre Online 1687
Postad: 28 nov 22:27
Trinity2 skrev:

Drag en ny höjd

Tack :)

Svara
Close