4 svar
141 visningar
DenDanne är nöjd med hjälpen!
DenDanne 273
Postad: 6 jul 2018

Aritmetiska medelvärdet större än det geometriska, bevis

Satte nyss igång med Ma 4 och stötte på den här uppgiften som jag inte lyckas komma särskilt långt med.

 

Tänker att jag kan ta två på varandra, alltså att typ b=a+1, sedan sätter jag in det istället för b och försöker komma fram till något, men det går inte så bra. Hur ska jag tänka?

Nej, det går inte. Du ska bevisa att det gäller för alla tal, a och b. Vi vill ta oss från uttrycket i fråga, till något vi direkt kan säga är sant. Vad händer om du börjar med att kvadrera båda led? 

DenDanne 273
Postad: 6 jul 2018

(a+b2)2  (ab)2a2+2ab+b24  ab

Kan inte riktigt se något av att kvadrera båda leden

Multiplicera båda led med fyra, och försök få en nolla i HL. 

Albiki Online 3924
Postad: 6 jul 2018

Hej!

Du ska INTE utgå från olikheten och visa att den är sann genom att kvadrera olikhetens båda led.

Det du ska göra är att utgå från att aa och bb är icke-negativa tal och visa att deras geometriska medelvärde ab\sqrt{ab} aldrig är större än deras aritmetiska medelvärde a+b2\frac{a+b}{2},

    aba+b2.\displaystyle \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.

Ett sätt att visa detta är att utveckla det icke-negativa talet (a-b)2(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 med hjälp av Kvadreringsregeln.

    0(a-b)2=a+b-2ab.\displaystyle 0 \leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}.

Svara Avbryt
Close