Aritmetiska medelvärdet större än det geometriska, bevis

Nej, det går inte. Du ska bevisa att det gäller för alla tal, a och b. Vi vill ta oss från uttrycket i fråga, till något vi direkt kan säga är sant. Vad händer om du börjar med att kvadrera båda led? 

$$\begin{gathered} (\frac{a+b}{2}{)}^2 \ge (\sqrt{ab}{)}^2 \\ \frac{a^2+2ab+b^2}{4} \ge ab \end{gathered}$$

Kan inte riktigt se något av att kvadrera båda leden

Multiplicera båda led med fyra, och försök få en nolla i HL. 

Hej!

Du ska INTE utgå från olikheten och visa att den är sann genom att kvadrera olikhetens båda led.

Det du ska göra är att utgå från att $a$ och $b$ är icke-negativa tal och visa att deras geometriska medelvärde $\sqrt{ab}$ aldrig är större än deras aritmetiska medelvärde $\frac{a+b}{2}$,

    $\displaystyle \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}.$

Ett sätt att visa detta är att utveckla det icke-negativa talet $(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2$ med hjälp av Kvadreringsregeln.

    $\displaystyle 0 \leq (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}.$