asymptot

Om jag uppfattar ditt inlägg korrekt undrar du varför $y=0$ inte är en asymptot till $\frac{x}{x+2}$?

I så fall kan man tänka sig att i den första funktionen

$\displaystyle f\left(x\right) = \frac{x}{x^2-1}$ så kommer, när $x \to \infty$, $x^2$-termen vara mycket mycket större än $x$-termen och $x$ är essentiellt 0 i jämförelse. 

Men för 

$g\left(x\right) = \frac{x}{x+2}$ har både täljaren och nämnaren samma gradtal. När $x$ är mycket stort gäller det att $x \approx x+2$ (relativt till storleken, exempelvis om $x=10^{100}$ är en skillnad i $2$ mycket liten). 

Om de är ungefär lika kommer kvoten istället gå mot 1. Den där +2an gör inte mycket alls. 

Du kan se det så här:

$f(x)=\frac{x}{x+2}=\frac{x+2-2}{x+2}=$

$=\frac{x+2}{x+2}-\frac{2}{x+2}=1-\frac{2}{x+2}$

Vi letar nu efter vertikala asymptoter:

Om nu $x\rightarrow -2$ från vänster så går andra termen mot minus oändligheten och hela uttrycket därmed mot plus oändligheten.

Om istället $x\rightarrow -2$ från höger så går andra termen mot plus oändligheten och och hela uttrycket därmed mot plus oändligheten.

Alltså är x = -2 en vertikal asymptot.

=======

För horisontella asymptoter undersöker vi vad som händer då $x\rightarrow\infty$ och $x\rightarrow -\infty$.

I båda dessa fallen går andra termen mot 0 och hela uttryckets värde går mot 1.

Alltså är y = 1 en horisontell asymptot.