Asymptot, Matte 4

Har du ritat?

Skriv om f(x) som tre stycken kvoter. Vad kommer var och en av termerna att gå mot, om x blir jättestort?

Smaragdalena skrev:

Har du ritat?

Skriv om f(x) som tre stycken kvoter. Vad kommer var och en av termerna att gå mot, om x blir jättestort?

Nej; Jag tror att det var det jag menade. Det

$\frac{x^2-x-1}{x-1}=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}\Rightarrow x+1+0$ när x blir jättestort (positivt eller negativt).

Smaragdalena skrev:

$\frac{x^2-x-1}{x-1}=\frac{x^2}{x-1}-\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}\Rightarrow x+1+0$ när x blir jättestort (positivt eller negativt).

Förlåt men det var inte min fråga! Min fråga är varför m och k ser ut som de gör alltså varför k i asymptat är f(x)/x och varför m=f(x)-kx!

Om f(x) har en asymptot y = kx + m då x går mot oändligheten så betyder det, per definition, att

f(x) = kx + m + r(x), där r(x) är en funktion som går mot noll då x går mot oändligheten.

Vi har då att

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}$ = $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{kx+m+r\left(x\right)}{x}$ = $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{kx}{x}+\frac{m}{x}+\frac{r\left(x\right)}{x}\right)$ = k + 0 + 0 = k

$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(f\left(x\right)-kx\right)$ = $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(kx+m+r\left(x\right)-kx\right)$ = $\underset{x\to \infty }{\lim }\left(m+r\left(x\right)\right)$ = m.

Notera att du kan även lösa uppgiften enkelt med polynomdivision.

$\frac{x^2-x-1}{x+1}$ = (polynomdivision) = x - 2 + $\frac{1}{x+1}$.

Så asymptoten (då x $\to$ $\pm \infty$) ges av y = x - 2.