Asymptot och värdemängd

Undersök vad som händer då x går mot $\pm$ oändligheten (horisontella och sneda asymptoter) och om det finns något värde på x då någon nämnare är lika med 0 (vertikala asymptoter).

Hmm.. Jag förstår inte vad du menar . Hur undersöker man om x går mot +- oändligheten? Hur kan man veta ifall det finns en vertikal Elr horisontell asymptot?

När x blir väldigt stort/ väldigt litet kommer 4/x gå mot noll. Detta gör att funktionen kommer likna x mer och mer desto större/mindre x värde.

Vad händer med funktionen då x närmar sig 0

Om x börjar närma sig noll och blir ett så litet tal så möjligt kmr 4/x att bli så stort så möjligt 

Men vad händer om x=-.00000000001 

Blir det verkligen ett stort tal?

Ja, och det betyder att f(x) växer obegränsat då x närmar sig 2.

Yngve skrev:

Ja, och det betyder att f(x) växer obegränsat då x närmar sig 2.

Nu känner jag mig lite borta. 2 är ett definierat x värde på kurvan 

ItzErre skrev:

Men vad händer om x=-.00000000001 

Blir det verkligen ett stort tal?

Då blir talet så litet så möjligt 

Yngve skrev:

Ja, och det betyder att f(x) växer obegränsat då x närmar sig 2.

Vad menar du? Jag förstod inte vad du menar 

Katarina149 skrev:

ItzErre skrev:

Men vad händer om x=-.00000000001 

Blir det verkligen ett stort tal?

Då blir talet så litet så möjligt 

Vad kan vi då dra förskjuts gällande x värden runt 0. (Vi har x värden som är lite större en noll och x värden lite mindre än noll)

Att gränsvärdet är +- oändligheten 

Katarina149 skrev:

Att gränsvärdet är +- oändligheten 

Precis. Om jag inte minns fel så skriver man då bara att x=0 är en asymptot

Varför skriver man att x=0 är en asymptot då gränsvärdet är +- oändligheten 

+- oändligheten är inget tal 

När man skriver oändligheten i ett tal beskriver man en idé mer än ett verkligt tal

Okej gränsvärdet är +- oändligheten, däremot är asymptoten är x=0

Jag skrev fel.

Jag menade att f(x) växer obegränsat då x går mot 0, inte mot 2.

Hur kan jag hitta värdemängden?

Kan detta vara någon hjälp?

Värde mängd är de tillåtna värden på y.  Asymptoten är y=x men vad är isf värdemängden? Jag vet inte hur jag ska använda bilden 

Värdemängden finns inte / är oändlig 

Finns Dock små värden som inte finns

Katarina149 skrev:

Värde mängd är de tillåtna värden på y.  Asymptoten är y=x men vad är isf värdemängden? Jag vet inte hur jag ska använda bilden 

Den röda kurvan visar funktionens graf.

Du ser där att funktionen saknar övre och undre begränsning men du ser även att det finns värden som funktionen aldrig kan anta.

Ett exempel på ett sådant värde är 0, eftersom ekvationen x + 4/x = 0 saknar reell lösning.

Detta kan visualiseras genom att grafen till y = x + 4/x aldrig skär grafen till y = 0 någonstans.

Försök nu att hitta alla sådana värden som inte finns med i värdemängden.

            4  < y och 

y< - 4

jag antar att det är värdemängden 

Ja, nästan. Det ska vara $y\geq4$ och $y\leq -4$.

Hur kom du fram till svaret?

Jag tänkte att grafen i y led aldrig kommer nå mer än -4 i den tredje kvadranten. Medan grafen i den första kvadraten aldrig kommer nå mindre än 4 i y led

Ja det stämmer, men använde du någon algebraisk metod för att komma fram till det?

T.ex. att lösa en andragradsekvation eller att utnyttja dina kunskaper om hur du hittar lokala extrempunkter?

Nej jag tittade bara på grafen i #19 som du postade. Hur ska man kunna komma fram till svaret algebraiskt?

Andragradsekvation: Som du såg så konstaterade jag att y = 0 inte ingick i värdemängden, eftersom ekvationen f(x) = 0 saknar reella lösningar. Den geometriska tolkningen är att linjen y = 0 inte korsar grafen till f(x) någonstans.

Du kan generalisera detta till att ta reda på för vilka värden på konstanten c som ekvationen f(x) = c faktiskt har reella lösningar. Dessa värden på c utgör funktionens värdemängd.

Lokala extrempunkter: Du ser i grafen att f(x) har en lokal maxpunkt och en lokal minpunkt. Du ser även att värden mellan dessa punkter inte ingår i värdemängden. Du kan nu helt enkelt derivera f(x) och lösa ekvationen f'(x) = 0 för att hitta dessa extremvärden.

Menar du att jag med hjälp av derivata kan hitta extrempunkterna dvs punkter där derivatan är lika med noll..? Men vad kan det vara till nytta att använda derivata?

Titta på grafen. Där ser du tydligt att grafen har ett minsta värde i första kvadranten och ett högsta värde i tredje kvadranten. Dessa värden kan du hitta med hjälp av derivata 

En asymptot är y=x vilket är en sned asymptot 

men hur vet jag om det finns fler asymptoter?

Det finns vertikala asy Potter och sneda asymptoter Leta reda på alla vertikala symptomen Titta sedan vad som händer då x går mot $\pm\infty$.

Där hittar du alla horisontella och/eller sneda asymptoter.