asymptoter 2339

Du har räknat fel på derivatan, den andra termen - den ska bli $-2·x^{-3}$

Sedan hittar du ett nollställe för derivatan och kan avgöra om det motsvarar max eller min.

Du ser också på funktionsuttrycket att ett förbjudet värde på x är 0 - kanske motsvarar en asymptot
Behöver utredas

hur utreder man det? 

Du kan sätta in x-värden nära 0  - och låta dem gå mot 0 från höger (dvs +) resp från vänster (-värden)
Och se hur y-värdena förändras

ska man göra det efter man deriverat och gjort teckenstudium, eller ska man göra det innan? tycker det är så svårt och veta i vilka steg man ska bestämma asymptoterna

Utredning av asymptoterna hänger inte ihop med extremvärdena ,dvs deriveringen.
Så detta kan du kanske helst göra före deriveringen.

Du har också vågrätt asymptot för vad händer då x går mot $+\infty resp -\infty$

så x= 0 är en vertikal komposant då grafen blir vertikal? den vågräta asymptoten är väl -1 eftersom det är gränsvärdet? räknadet det genom att dela med x^2

Vad är syftet med deriveringen för asymtoter?

Ja, du får y-axeln, dvs x=0 som vertikal asymptot

Medan den horisontella asymptoten är x-axeln, dvs y=0.
För då $x\to +\infty så går y\to 0, men \text{'}uppifrån\text{'}, dvs positiva y-värden$

Medan då $x\to -\infty så går även då y\to 0.$
Men närmar den sig x-axeln uppifrån eller nedifrån?
Där har du användning för derivatan , för att ta fram ev extrempunkter.
Och det finns en. Har du hittat den?

men y= 0 är väl inte gränsvärdet? eller används den inte för att ta reda på den horisontella/vertikala asymptoten? 

Jag tycker att man kan betrakta funktionsuttrycket  $f\left(x\right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}$

Och utgående från det undersöka vad y-värdet närmar sig för olika x-värden.
T ex det jag skrev nyss.
Är du med på det eller vad undrar du över?

Jag kom fram till detta, dock förstår jag inte riktigt om gränsvärde och när x går mot oändligheten är samma sak? eller om jag blandat ihop dem. För gränsvärdet ger väl asymptoten horisontellt dvs y= någonting

Du har gjort ett bra försök att ta fram extrempunkt via derivata, men gjort några räknefel.

Tecknet mellan x-termerna i funktionen är ett plus-tecken men du har fått in ett minustecken.
Sedan har du gjort ett räknefel på näst sista raden, tror jag att det är. Du förkortar med $x^{-2} men då ska du få kvar 2·x^{-1}i vänsterledet$

Jag får extrempunktens x-värde till x=2. Därefter måste du ta reda på om det är max eller min.

Om du har en grafisk räknare eller dylikt så kan du få hjälp av den att se hur funktionen ser ut.

Vad gäller gränsvärde så gäller om t ex $x\to \infty så gäller att y\to 0$
Det innebär att gränsvärdet för y är 0, dvs y närmar sig 0 alltmer men kommer aldrig att få det värdet.
Samtidigt är y=0 en asymptot för denna funktion

Jag skrev fel: Extrempunktens x-värde är x=-2

Jag förstår inte riktigt vart, skulle du kunna vara snäll och möjligtvis ringa in felet :)

Jag ser nu att du har skrivit fel tecken i funktions-uttrycket (också)

Du har: $f\left(x\right)=x^{-1}+x^{-2}$

Vilket ger derivatan $f\text{'}\left(x\right)=-x^{-2}-2·x^{-3}$

Derivatan =0 skulle jag beräkna så här: $-x^{-2}-2·x^{-3}=0\to -\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x^3}=0\Rightarrow \frac{-x}{x^3}-\frac{2}{x^3}=0\Rightarrow \frac{-x-2}{x^3}=0$

Här är det täljarens nollställe som är intressant. Då får vi $-x-2=0\Rightarrow x=-2$