asymptoter 4227

Titta på bilden och klura ut vilken funktion som är den sneda asymptoten

den sneda asymptoten är x-1

Man kan skriva om y till $y=\frac{x^2}{x+b}+\frac{ax}{x+b}$. Om x är tillräckligt stort, kan man försumma b jämfört med x så att y kan förenklas till x+a. Vilket värde har a?

Du har rätt i att vi måste kräva att

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^2+ax}{x-2}-\left(x-1\right)\right)=0$.

$\frac{x^2+ax}{x-2}+1-x$ = ... =  $\frac{\left(a+3\right)x-2}{x-2}$ = $\frac{x}{x}·\frac{a+3-2/x}{1-2/x}$ $\to$ $a+3$ då x $\to \pm \infty$.

Så om gränsvärdet skall gå mot noll så måste $a=-3$.

förstår inte riktigt hur ni menar:/ förstår dels inte hur man kan försumma b jämfört med x så att y kan förenklas till x+a (smaragdalena)

och dels förstår jag inte hur (a+3) kommer in i uttrycket (patenteramera)

Är du med på att det inte är särskilt stor skillnad mellan 1000 000 000 000 000 000 000 000 och 1000 000 000 000 000 000 000 003?

Eli123be skrev:

förstår inte riktigt hur ni menar:/ förstår dels inte hur man kan försumma b jämfört med x så att y kan förenklas till x+a (smaragdalena)

och dels förstår jag inte hur (a+3) kommer in i uttrycket (patenteramera)

$\frac{x^2+ax}{x-2}+1-x=\frac{x^2+ax}{x-2}+\frac{(x-2)(1-x)}{x-2}=\frac{x^2+ax+x-x^2-2+2x}{x-2}=\frac{ax + 3x-2}{x-2}=\frac{(a+3)x-2}{x-2}=$

$\frac{x\left(\left(a+3\right)-2/x\right)}{x(1-2/x)}=\frac{\left(a+3\right)-2/x}{1-2/x}$. När x går mot $\pm \infty$så går 2/x mot noll så det enda som blir kvar är

$\frac{a+3+0}{1+0}=a+3$. Säg till om något är oklart.

tack så mycket för förklaringen!, jag har dock fastnat på två ställen:

• hur blir ax+ 3x-2/ (x-2) = (a+3)x-2/(x-2)?
• varför man multiplicerar med x på båda sidor på raden under ?

$\frac{x^2+ax}{x-2}+1-x=\frac{x^2+ax}{x-2}+\frac{(x-2)(1-x)}{x-2}=\frac{x^2+ax+x-x^2-2+2x}{x-2}=\frac{ax + 3x-2}{x-2}=\frac{(a+3)x-2}{x-2}=$

$\frac{x\left(\left(a+3\right)-2/x\right)}{x(1-2/x)}=\frac{\left(a+3\right)-2/x}{1-2/x}$. När x går mot $\pm \infty$så går 2/x mot noll så det enda som blir kvar är

$\frac{a+3+0}{1+0}=a+3$. Säg till om något är oklart.

Smaragdalena skrev:

Är du med på att det inte är särskilt stor skillnad mellan 1000 000 000 000 000 000 000 000 och 1000 000 000 000 000 000 000 003?

Yes nu hänger jag med på det, så jag får y= x+ a, vad ska jag sätta in som y och x är det grafen funktioner eller den sneda asymptoten?

Eli123be skrev:

tack så mycket för förklaringen!, jag har dock fastnat på två ställen:

• hur blir ax+ 3x-2/ (x-2) = (a+3)x-2/(x-2)?
• varför man multiplicerar med x på båda sidor på raden under ?

$\frac{x^2+ax}{x-2}+1-x=\frac{x^2+ax}{x-2}+\frac{(x-2)(1-x)}{x-2}=\frac{x^2+ax+x-x^2-2+2x}{x-2}=\frac{ax + 3x-2}{x-2}=\frac{(a+3)x-2}{x-2}=$

$\frac{x\left(\left(a+3\right)-2/x\right)}{x(1-2/x)}=\frac{\left(a+3\right)-2/x}{1-2/x}$. När x går mot $\pm \infty$så går 2/x mot noll så det enda som blir kvar är

$\frac{a+3+0}{1+0}=a+3$. Säg till om något är oklart.

Är du med på att ax + 3x = (a+3)x. Vi kan bryta ut en faktor x, inget konstigare än så.

Jag multiplicerar inte med x. Jag bryter ut en faktor x i både täljare och nämnare och förkortar bort. Sedan låter jag x gå mot $\pm \infty$. I båda fallen blir gränsvärdet a + 3. Eftersom vi vill att gränsvärdet skall vara noll så måste a = -3.

Funktionen är $y=\frac{x^2+ax}{x+b}$. Den kan skrivas om till $y=\frac{x^2}{x+b}+\frac{ax}{x+b}$.

När x är så stort att man kan försumma b förenklas funktionen till $y\approx\frac{x^2}{x}+\frac{ax}{x}=x+a$. Titta på bilden för att läsa av värdet på a.

Notera att du kan lösa denna mha av polynomdivision också.

$\frac{x^2+ax}{x-2}$ = polynomdivision = x + a + 2 + $\frac{2(a+2)}{x-2}$.

Så asymptoten ges av y = x + a + 2 och från figuren ser vi även att asymptoten skall vara y = x - 1. Därför måste vi ha att a + 2 = -1, vilket återigen ger att a = -3.

Tack så jättemycket!:)