7 svar
86 visningar
Linn är nöjd med hjälpen!
Linn 71
Postad: 10 nov 2018

Att räkna koordinater

Jag har en uppgift i kursen matte 3. Uppgiften lyder: "en linje går genom punkterna (1,6) och (3,14). Denna linje skär kurvan y=x^2-3 i två punkter. Bestäm avståndet mellan dessa punkter."

Jag förstår att jag ska använda avståndsformeln mellan punkterna. Men det som står helt still i min hjärna är hur jag ska komma fram till punkterna i andragradsekvationen. Jag får ut den räta linjens ekvation, men jag förstår inte hur jag ska hitta sambandet mellan dessa två ekvationer utan att rita upp två grafer. Med andragradsekvationen får jag ju fram nollställen och vertex, men vad ger det liksom? Kom gärna med tips! 

Välkommen till Pluggakuten! När du har bestämt linjens ekvation, vill vi hitta två punkter är linjen skär kurvan. Det sker då funktionernas x- och y-värden är desamma. Du kan då sätta y=yy=y, vilket blir samma sak som x2-3=x^{2}-3="högerledet av linjens ekvation". Lös för värdena på x då detta stämmer. :)

Kallaskull 443
Postad: 10 nov 2018

Hej och välkommen till pluggakuten

Räkna först ut linjens ekvation med hjälp av y2-y1x2-x1=k och sätta in en av punkterna i ekvationen y=k*x+m för att få ut m-värdet

Sedan för att se när linjen skär kurvan kan du bara sätta funktionerna lika varandra kx+m=x2-3 och använda pq

tomast80 2372
Postad: 10 nov 2018 Redigerad: 10 nov 2018

Alternativt kan man använda parameterform (om du sett det?):

k=ΔyΔx=k=\frac{\Delta y}{\Delta x}=

14-63-1=4

(x(t),y(t))=(1+t,6+4t)(x(t),y(t))=(1+t,6+4t)

Vidare har vi: y=x2-3, vilket ger:

6+4t=(1+t)2-36+4t=(1+t)^2-3

...

Linn 71
Postad: 11 nov 2018

Jättetack för era svar! Men jag blir konfunderad.. för de värden jag får fram genom pq-formeln är ju bara nollställena. Det är ju koordinaterna där den räta linjen skär andragradsekvationen som jag vill ha fram. Är det jag som krånglar till det för mig?

Det du får fram är inte nollställena till andragradsfunktionen, utan nollställena till den funktion som består av både andragradsfunktionen och den räta linjens funktion.

Kalla andragradsfunktionen för f(x), och den räta linjens funktion för g(x). Då ställer vi upp ekvationen f(x)=g(x)f(x)=g(x), vilket vi sedan skriver om till f(x)-g(x)=0f(x)-g(x)=0. Nollställena till funktionen h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)-g(x) är alltså samma som skärningspunkterna mellan f(x) och g(x), vilket är vad vi vill hitta. Så det kommer att gå bra. :)

Linn skrev:

Jättetack för era svar! Men jag blir konfunderad.. för de värden jag får fram genom pq-formeln är ju bara nollställena. Det är ju koordinaterna där den räta linjen skär andragradsekvationen som jag vill ha fram. Är det jag som krånglar till det för mig?

Hej Linn.

Smutstvätt gav en utmärkt beskrivning av likheterna mellan att hitta skärningspunkter och nollställen.

Jag försöker här visa varför det går att använda samma tankesätt och lösningsmetod oavsett om det gäller att hitta skärningspunkter eller nollställen. 

--------------------------

Skärningspunkter mellan två kurvor:

För kurvan som är given genom sambandet y=x2-3y=x^2-3 gäller att

  • alla punkter som uppfyller sambandet y=x2-3y=x^2-3 ligger på kurvan.
  • alla punkter som ligger på kurvan uppfyller sambandet y=x2-3y=x^2-3.

 

Linjen som går genom punkterna (1, 6) och (3, 14) uppfyller sambandet y=4x+2y=4x+2. Det betyder att

  • alla punkter som uppfyller sambandet y=4x+2y=4x+2 ligger på linjen.
  • alla punkter som ligger på linjen uppfyller sambandet y=4x+2y=4x+2.

 

Du vill nu ta reda på vilka skärningspunkterna mellan kurvan och linjen är. Det är samma sak som att hitta den/de punkter som ligger både på kurvan och på linjen. Det är samma sak som att hitta den/de punkter som uppfyller båda sambanden.

Eftersom båda sambanden ska vara uppfyllda så hittar du punkterna genom att lösa ekvationssystemet

y=x2-3y=x^2-3

y=4x+2y=4x+2

Detta är samma sak som att lösa ekvationen x2-3=4x+2x^2-3=4x+2.

Ovanstående är en generell metod för att hitta skärningspunkter mellan två kurvor.

--------------------------

En kurvas nollställen:

Det går att hitta en kurvas nollställen enligt exakt samma tankesätt och metod som ovanstående.

Tänk dig att du ska hitta nollställena till kurvan y=x2+x-2y=x^2+x-2.

Att hitta kurvans nollställen är samma sak som att hitta kurvans skärningspunkter med x-axeln.

Eftersom x-axeln är en linje som kan beskrivas av sambandet y=0y=0 så gäller att du får fram nollställena genom att hitta skärningspunkterna mellan kurvan y=x2+x-2y=x^2+x-2 och linjen y=0y=0.

Precis på samma sätt som ovanstående så hittar du skärningspunkterna genom att lösa ekvationssystemet

y=x2+x-2y=x^2+x-2

y=0y=0

Dvs att lösa ekvationen x2+x-2=0x^2+x-2=0

Linn 71
Postad: 11 nov 2018

Tusen tack för bra och mycket pedagogisk förklaring! :) 

Svara Avbryt
Close