Avbildningsmatris Linjäravbildning
Bestäm avbildninsmatrisen för den linjära avbildning som speglar
rummets vektorer i en linje l som går genom origo och är ortogonal
mot planet 2x − y + 3z + 5 = 0.
Jag plockade ut normalen (2,-1,3) och projicerade sedan e1,e2 och e3 på normalen för att skapa en standard bas men får fel svar.
e1 = (1,0,0) - (1,0,0)*(2,-1,3) / 14 = 1/14 (10,2,-6)
e2 = 1/14(2,13,3)
e3 = 1/14(-6,3,5)
1/7* (
-3 -2 6
-2 -6 -3
6 -3 2
)
Med 14 så menar du sqrt(14)?
Jag skulle ta 3 vektorer: normalen och två ortogonala i planet. Dessa 3 är egenvektorer med kända egenvärden. Då får du ett ekvationssystem att härja ut.
EDIT: ser nu att det var spegling i linje och inte i plan. Det blir dock nästan samma princip.
Tack för svar Dr.G, jag förstår inte riktigt, kan du simplifiera lite? hur får jag fram två ortogonala vektorer i linjen? kan inte riktigt koppla till egenvärden och egenvektorer.
Linjen har alltså riktningsvektor [2,-1,3] . Vektorer parallella med denna avbildas på sig själva (egenvektorer med egenvärde 1).
T([2,-1,3]) = [2,-1,3]
Ta sedan två vektorer vinkelräta mot [2,-1,3] och mot varandra. Den ena kan du ta som [1,2,0] och den andra som kryssprodukten [2,-1,3] x [1,2,0]. Dessa två vektorer är egenvektorer med egenvärde -1, p.g.a spegling.
T([1,2,0]) = -[1,2,0]
Från dessa tre samband kan du få ut
T([1,0,0]), T([0,1,0]) och T([0,0,1])
och då är det i princip klart.
EDIT: Det där med kryssprodukt var onödigt. De behöver inte vara ortogonala, så man kan lika gärna ta [0,3,1].
