31 svar
91 visningar
Mattehjalp är nöjd med hjälpen
Mattehjalp 1228
Postad: 9 mar 12:47 Redigerad: 9 mar 12:48

avdelare

9 elever ska arbeta i par, men en grupp ska innehålla 3 grupper, på hur många sätt kan vi bilda de olika grupperna.

jag hade tänkt att man ska göra på följande sätt

men detta är fel? Varför?

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 13:25 Redigerad: 9 mar 13:26

(12 över 3) är hur många sätt man kan välja 3 av 12, eller med andra ord hur många sätt man kan ta ut 3-elevers-gruppen på.

Du måste dela in de övriga sex eleverna i tre 2-elevers-grupper också.

Mattehjalp 1228
Postad: 9 mar 13:29

okej men då tänker jag att man isåfall ska ta (12 över 3)*(12 över 6) men det ger fel svar

även (12 över 3) * 3(12 över 2) ger fel svar

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 13:44

Vänta, jag missuppfattade.  Jag tolkade det som att det var 12 elever, men jag förstår nu att du vill placera 9 elever och 3 gruppavskiljningslinjer i ordningar för att få ut hur många gruppindelningar som är möjliga.

Gör man på det viset accepterar man dock att en möjlig ordning blir |||ooooooooo, dvs. en enda stor grupp för alla. Så detta är inte ett gångbart vis.

Om vi kallar eleverna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 så löser man uppgiften genom att se på hur många sätt som man kan placera de siffrorna i cirklarna på ditt anteckningsblock. Detta borde vara 9! vis. Emellertid så räknas då vissa lösningar som olika trots att de är identiska. Ta t.ex. [1 2 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9] och [2 1 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9]. För att råda bot på det får vi undersöka på hur många olika sätt vi kan bilda samma lösning på.

Vi bildar ekvivalenta lösningar till [1 2 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9] genom att låta medlemmarna inom de olika grupperna byta plats med varandra. Grupp 1 kan omsorteras på 2! vis, grupp 2 och grupp 3 likaså, och grupp 4 kan omsorteras på 3! vis. Sedan så är ordningarna på grupp 1 till 3 godtyckliga; en ekvivalent lösning vore [5 6 | 1 2 | 3 4 | 7 8 9]. Dessa kan kastas om på 3! vis. Så om vi tar våra 9! lösningar så är det 2!*2!*2!*3!*3! gånger så många lösningar som det är i verkligheten, så lösningen borde ges av

9!/(23*3!*3!)

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 13:49 Redigerad: 9 mar 13:56
Bedinsis skrev:

Vänta, jag missuppfattade.  Jag tolkade det som att det var 12 elever, men jag förstår nu att du vill placera 9 elever och 3 gruppavskiljningslinjer i ordningar för att få ut hur många gruppindelningar som är möjliga.

Gör man på det viset accepterar man dock att en möjlig ordning blir |||ooooooooo, dvs. en enda stor grupp för alla. Så detta är inte ett gångbart vis.

Om vi kallar eleverna 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 så löser man uppgiften genom att se på hur många sätt som man kan placera de siffrorna i cirklarna på ditt anteckningsblock. Detta borde vara 9! vis. Emellertid så räknas då vissa lösningar som olika trots att de är identiska. Ta t.ex. [1 2 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9] och [2 1 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9]. För att råda bot på det får vi undersöka på hur många olika sätt vi kan bilda samma lösning på.

Vi bildar ekvivalenta lösningar till [1 2 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9] genom att låta medlemmarna inom de olika grupperna byta plats med varandra. Grupp 1 kan omsorteras på 2! vis, grupp 2 och grupp 3 likaså, och grupp 4 kan omsorteras på 3! vis. Sedan så är ordningarna på grupp 1 till 3 godtyckliga; en ekvivalent lösning vore [5 6 | 1 2 | 3 4 | 7 8 9]. Dessa kan kastas om på 3! vis. Så om vi tar våra 9! lösningar så är det 2!*2!*2!*3!*3! gånger så många lösningar som det är i verkligheten, så lösningen borde ges av

9!/(23*3!*3!)

Men har du inte alltid 3-gruppen sist då?

Jag trodde det skulle vara (9 3)(6 2)(4 2)(2 2)=7560 där (x y) = "x över y". Men jag kan ha FEL.

Finns det något svar öht så vi vet om vi tänker rätt? :)

Förslag på modifiering av ditt resultat:

9!/8/3!/4! = 315

(vilket är långt från mitt första förslag... hm...)

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 13:59

3-gruppen blir alltid sist, ja, precis som grupp 1 alltid blir först, grupp 2 alltid tvåa och grupp 3 alltid trea. Det som  skyfflas runt så man får ekvivalenta lösningar är deras innehåll.

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 13:59 Redigerad: 9 mar 14:01

OP kanske kan posta svaret…

Samtidigt rättar jag min första ansats till (9 3)(6 2)(4 2)(2 2)/4! = 315.

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 14:10 Redigerad: 9 mar 16:35
Trinity2 skrev:

Jag trodde det skulle vara (9 3)(6 2)(4 2)(2 2)=7560 där (x y) = "x över y". Men jag kan ha FEL.

Detta är inte så långt från det värdet jag fick.

93*62*42*22=9*8*73*2*1*6*52*1*4*32*1*2*12*1=9!3!*23

Jag vill dela med 3! ytterligare för att ta hänsyn till att om du först tar ut 1, 2, 3 till 3-gruppen; 4, 5 till nästa grupp; 6, 7 till nästa grupp och slutligen 8, 9 till sista gruppen är det samma lösning som om du först tar ut 1, 2, 3 till 3-gruppen; 8, 9 till nästa grupp; 6, 7 till nästa grupp och slutligen 4, 5 till sista gruppen.

Att dividera med 4! som i din andra ansats är att säga att vi kan bilda samma lösning genom att stoppa in hela innehållet från någon av 2-grupperna i 3-gruppen, och detta går ju inte.

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 14:15
Bedinsis skrev:
Trinity2 skrev:

Jag trodde det skulle vara (9 3)(6 2)(4 2)(2 2)=7560 där (x y) = "x över y". Men jag kan ha FEL.

Detta är inte så långt från det värdet jag fick.

93*62*42*22=9*8*73*2*1*6*52*1*4*32*1*2*12*1=9!3!*23

Jag vill dela med 3! ytterligare för att ta hänsyn till att om du först tar ut 1, 2, 3 till 3-gruppen; 4, 5 till nästa grupp; 6, 7 till nästa grupp och slutligen 8, 9 till sista gruppen är det samma läsningen som om du först tar ut 1, 2, 3 till 3-gruppen; 8, 9 till nästa grupp; 6, 7 till nästa grupp och slutligen 4, 5 till sista gruppen.

Att dividera med 4! som i din andra ansats är att säga att vi kan bilda samma lösning genom att stoppa in hela innehållet från någon av 2-grupperna i 3-gruppen, och detta går ju inte.

Vi får hoppas på att OP postar svaret.

Mattehjalp 1228
Postad: 9 mar 15:34 Redigerad: 9 mar 15:35

Svaret ska vara 1260

farfarMats 1086
Postad: 9 mar 16:01 Redigerad: 9 mar 16:07

Att dela  n+m grejer i två grupper kan ske på (n+m)! / n!*m!   (= binomialkoefficienten )   

Edit:  Alltså att det ska vara just n resp m medlemmar i grupperna 

att dela i+j+k i tre grupper kan ske på  (i+j+k)! / i!*j!*k!  

att dela en massa grejer i många (k) grupper kan göras på lika många sätt som alla sätt man kan ordna en mass grupper på ( alltså totalantalet fakultet ) genom produkten av alla sätt man  ordna internt i varje grup.  Kallas polynomialkoefficient  n1+n2+...nk/n1!*n2!  * ...  nk

Mattehjalp 1228
Postad: 9 mar 16:01
Bedinsis skrev:

Gör man på det viset accepterar man dock att en möjlig ordning blir |||ooooooooo, dvs. en enda stor grupp för alla. Så detta är inte ett gångbart vis.

 

okej så innan vi går in i hur du löste uppgiften så vill jag kolla om jag tänker rätt. I följande fråga så sa de inte bullarna MÅSTE ha olika dekorationer därav kunde vi tillämpa sättet med avdelare 

Men i frågan jag laddade upp så ville de dela 9 pers i bestämt antal grupper med bestämt antal i så därför kan vi inte tillämpa avdelar sättet?

Mattehjalp 1228
Postad: 9 mar 16:09
farfarMats skrev:

Att dela  n+m grejer i två grupper kan ske på (n+m)! / n!*m!   (= binomialkoefficienten )   

 

att dela i+j+k i tre grupper kan ske på  (i+j+k)! / i!*j!*k!  

att dela en massa grejer i många (k) grupper kan göras på lika många sätt som alla sätt man kan ordna en mass grupper på ( alltså totalantalet fakultet ) genom produkten av alla sätt man  ordna internt i varje grup.  Kallas polynomialkoefficient  n1+n2+...nk/n1!*n2!  * ...  nk

Isåfall tänker jag att 3 pers ska delas in i en grupp kan ske på 3!/3! 

och 6 pers ska delas in i 3 grupper kan ske på 6!/3!•3! olika sätt

detta ger 1•20=20 sätt vilket är fel

farfarMats 1086
Postad: 9 mar 16:13 Redigerad: 9 mar 16:14

Jag tänkte att du ska alla 9 och dela i grupper om 2,2,2och3 i vardera ?

Alltså   9! / 2!*2!*2!*3!  

farfarMats 1086
Postad: 9 mar 16:24 Redigerad: 9 mar 16:26

Resonemanget bakom är som ett av de tidigare inläggen (fast det den gången blev fel sen):

Ordna alla på alla tänkbara sätt (9!) och ta i tur och ordning ut först 2 sen sen 2 sen 2 och sist 3 pers. 

Men de delningar som innehåller herr A och fru B i första gruppen är räknade två gånger och de delningar som har a,b,c i tregruppen är räknade 3! gånger alltså måsta man dela med  2! för första gruppen och så vidar till och med 3! för sista gruppen 

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 16:32
Mattehjalp skrev:
Bedinsis skrev:

Gör man på det viset accepterar man dock att en möjlig ordning blir |||ooooooooo, dvs. en enda stor grupp för alla. Så detta är inte ett gångbart vis.

 

okej så innan vi går in i hur du löste uppgiften så vill jag kolla om jag tänker rätt. I följande fråga så sa de inte bullarna MÅSTE ha olika dekorationer därav kunde vi tillämpa sättet med avdelare 

Men i frågan jag laddade upp så ville de dela 9 pers i bestämt antal grupper med bestämt antal i så därför kan vi inte tillämpa avdelar sättet?

Korrekt.

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 16:53 Redigerad: 9 mar 17:00
Bedinsis skrev:
Trinity2 skrev:

Jag trodde det skulle vara (9 3)(6 2)(4 2)(2 2)=7560 där (x y) = "x över y". Men jag kan ha FEL.

Detta är inte så långt från det värdet jag fick.

93*62*42*22=9*8*73*2*1*6*52*1*4*32*1*2*12*1=9!3!*23

Jag vill dela med 3! ytterligare för att ta hänsyn till att om du först tar ut 1, 2, 3 till 3-gruppen; 4, 5 till nästa grupp; 6, 7 till nästa grupp och slutligen 8, 9 till sista gruppen är det samma lösning som om du först tar ut 1, 2, 3 till 3-gruppen; 8, 9 till nästa grupp; 6, 7 till nästa grupp och slutligen 4, 5 till sista gruppen.

Att dividera med 4! som i din andra ansats är att säga att vi kan bilda samma lösning genom att stoppa in hela innehållet från någon av 2-grupperna i 3-gruppen, och detta går ju inte.

Insåg nu lösningen

(9 3)(6 4)(4 2)(2 2)/(1!3!)

vilket ger rätt svar.

Mattehjalp 1228
Postad: 9 mar 17:53

Okej jag förstår hur ni har resonerat, tack för svaren. Dock finns ett till sätt att lösa denna uppgift på som jag tyckte var enklare och det är sättet på bilden nedan, dock lyckas jag inte förstå varför de delar med 3!? För jag tänker om man tar kombinationer så har vi redan räknat med att ordningen ej spelar roll, dvs vi behöver inte dela med 2! som vi kan ordna gruppen om 2 på och inte heller med 3! som vi kan ordna gruppen om 3 på. Dubbletten som blir kvar att ta bort är då 3! som är sättet att ordna dessa 3 grupper om 2 på. Men jag förstår inte varför den dubbletten blir kvar när man räknar med kombinationer? Hoppas ni förstår hur jag menar

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 18:55

Om vi ignorerar 3!s-delningen så står det att man först skall välja ut 2 av 9, sedan 2 av 7 sedan 2 av 5 för att slutligen ta ut 3 av 3. Mao. att man först väljer ut två elever till första gruppen, två till andra, två till tredje och slutligen tre till fjärde.

Ett sätt som man skulle kunna välja ut eleverna på är då:

[1 2 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9]

Ett annat är:

[3 4 | 5 6 | 1 2 | 7 8 9]

Dessa två räknas som unika sätt att välja ut elever på, trots att de fyra grupperna i respektive uppdelning är identiska. Så kan vi inte ha det. För att råda bot på det måste vi ta hänsyn till att de 3 grupperna om 2 kan komma i 3! ordningar, så vi får 3! gånger så många lösningar om den inbördes ordningen mellan de 3 grupperna om 2 inte spelar roll.

Därför dividerar man med 3!

Övriga uppdelningar som har samma elevuppdelning men ändå räknas som unika, om vi betraktar den inbördes ordningen mellan grupperna som väsentlig:

[1 2 | 5 6 | 3 4 | 7 8 9]

[3 4 | 1 2 | 5 6 | 7 8 9]

[5 6 | 1 2 | 3 4 | 7 8 9]

[5 6 | 3 4 | 1 2 | 7 8 9]

Mattehjalp 1228
Postad: 9 mar 19:01

Tusen tack!!!

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 19:05
Bedinsis skrev:

Om vi ignorerar 3!s-delningen så står det att man först skall välja ut 2 av 9, sedan 2 av 7 sedan 2 av 5 för att slutligen ta ut 3 av 3. Mao. att man först väljer ut två elever till första gruppen, två till andra, två till tredje och slutligen tre till fjärde.

Ett sätt som man skulle kunna välja ut eleverna på är då:

[1 2 | 3 4 | 5 6 | 7 8 9]

Ett annat är:

[3 4 | 5 6 | 1 2 | 7 8 9]

Dessa två räknas som unika sätt att välja ut elever på, trots att de fyra grupperna i respektive uppdelning är identiska. Så kan vi inte ha det. För att råda bot på det måste vi ta hänsyn till att de 3 grupperna om 2 kan komma i 3! ordningar, så vi får 3! gånger så många lösningar om den inbördes ordningen mellan de 3 grupperna om 2 inte spelar roll.

Därför dividerar man med 3!

Övriga uppdelningar som har samma elevuppdelning men ändå räknas som unika, om vi betraktar den inbördes ordningen mellan grupperna som väsentlig:

[1 2 | 5 6 | 3 4 | 7 8 9]

[3 4 | 1 2 | 5 6 | 7 8 9]

[5 6 | 1 2 | 3 4 | 7 8 9]

[5 6 | 3 4 | 1 2 | 7 8 9]

Varför listar du ej typ

[7 8 9 | 5 6 | 3 4 | 1 2]

?

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 19:44

För att uträkningen Mattehjalp gjorde var sådan att hen först tog ut de tre grupperna om 2, sedan gruppen om 3. Detta gör det omöjligt att första gruppen blir den med 3.

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 19:45
Bedinsis skrev:

För att uträkningen Mattehjalp gjorde var sådan att hen först tog ut de tre grupperna om 2, sedan gruppen om 3. Detta gör det omöjligt att första gruppen blir den med 3.

Det förklarar våra "osynkade" lösningar. Jag läste uppgiftstexten och det finns inget som säger en viss ordning. Är frågan fel avskriven?

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 19:49

Nej, men skall man dela in eleverna i de olika grupperna så måste man välja ut de i någon ordning. Om man börjar eller slutar med gruppen om 3 spelar ingen roll.

93624222=92725233

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 19:57
Bedinsis skrev:

Nej, men skall man dela in eleverna i de olika grupperna så måste man välja ut de i någon ordning. Om man börjar eller slutar med gruppen om 3 spelar ingen roll.

93624222=92725233

Spelar nog roll. Du får allt fler "identiska" series som alla innehåller samma resultat. Enbart 3-2-2-2 är ej rätt som jag läser uppgiften. Det finns 3 möjligheter till.

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 20:09
Trinity2 skrev:
Bedinsis skrev:

Nej, men skall man dela in eleverna i de olika grupperna så måste man välja ut de i någon ordning. Om man börjar eller slutar med gruppen om 3 spelar ingen roll.

93624222=92725233

Spelar nog roll. Du får allt fler "identiska" series som alla innehåller samma resultat. Enbart 3-2-2-2 är ej rätt som jag läser uppgiften. Det finns 3 möjligheter till.

Man kan visst lösa uppgiften genom att utgå från att man först tar ut eleverna till gruppen om 3. Du gjorde det i inlägg #5, och det enda du saknade var att du skulle dividera med 3!. Så 3-2-2-2 kan visst vara rätt.

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 20:11
Bedinsis skrev:
Trinity2 skrev:
Bedinsis skrev:

Nej, men skall man dela in eleverna i de olika grupperna så måste man välja ut de i någon ordning. Om man börjar eller slutar med gruppen om 3 spelar ingen roll.

93624222=92725233

Spelar nog roll. Du får allt fler "identiska" series som alla innehåller samma resultat. Enbart 3-2-2-2 är ej rätt som jag läser uppgiften. Det finns 3 möjligheter till.

Man kan visst lösa uppgiften genom att utgå från att man först tar ut eleverna till gruppen om 3. Du gjorde det i inlägg #5, och det enda du saknade var att du skulle dividera med 3!. Så 3-2-2-2 kan visst vara rätt.

Vad säger att valsekvensen ej någon av är

2-3-2-2

2-2-3-2

2-2-2-3

?

Samtliga dessa, samt 3-2-2-2, ger samma "gruppindelning". 

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 20:26

Ingenting alls säger vilken ordning som eleverna till de olika grupperna väljs. Detta är ett godtyckligt val för uppgiftslösaren. Och de leder till samma uträkning. Se inlägg #24.

Sedan visar det sig att de tre grupperna om 2:s inbördes ordning skall sakna betydelse, så man får dividera med 3! för att råda bot på det. Se inlägg #19.

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 20:29
Bedinsis skrev:

Ingenting alls säger vilken ordning som eleverna till de olika grupperna väljs. Detta är ett godtyckligt val för uppgiftslösaren. Och de leder till samma uträkning. Se inlägg #24.

Sedan visar det sig att de tre grupperna om 2:s inbördes ordning skall sakna betydelse, så man får dividera med 3! för att råda bot på det. Se inlägg #19.

Om vi tar bort detta val och samtliga 4 sekvenser är möjliga, vad får du svaret till då?

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 20:41

Vad är det vi räknar ut då? Det här med att "ordningen vi väljer ut grupperna i är godtyckligt" är eftersom att det speglar uppgiftsbeskrivningen; om vi säger att samtliga sekvenser är möjliga så säger vi implicit att ordningen vi väljer spelar roll och då är det inte längre aktuellt att dividera med 3!.

Om vi tänker oss att uppgiften var att man skall göra gruppindelningen och dessutom välja ut i vilken ordning grupperna skall redovisa sitt grupparbete (t.ex.) så kan vi återigen göra gruppindelningen på 9!/(2*2*2*3!) vis, och sedan placera de fyra grupperna i 4! ordningar, så det blir (4!*9!)/(2*2*2*3!).


Tillägg: 11 mar 2024 06:53

Glömde bort att det var två stycken 3! som skulle delas med. Det blir mao. (4!*9!)/(2*2*2*3!*3!)

Trinity2 1294
Postad: 9 mar 20:53
Bedinsis skrev:

Vad är det vi räknar ut då? Det här med att "ordningen vi väljer ut grupperna i är godtyckligt" är eftersom att det speglar uppgiftsbeskrivningen; om vi säger att samtliga sekvenser är möjliga så säger vi implicit att ordningen vi väljer spelar roll och då är det inte längre aktuellt att dividera med 3!.

Om vi tänker oss att uppgiften var att man skall göra gruppindelningen och dessutom välja ut i vilken ordning grupperna skall redovisa sitt grupparbete (t.ex.) så kan vi återigen göra gruppindelningen på 9!/(2*2*2*3!) vis, och sedan placera de fyra grupperna i 4! ordningar, så det blir (4!*9!)/(2*2*2*3!).

Har jag förstått dig rätt: 3 de grupperna med 2 personer är ordningen ej viktig, du delar med 3!

Men du säger att ordningen i valet där 3-gruppen kommer är viktigt, dv.s. första valet?

Bedinsis 2616
Postad: 9 mar 21:00

Det jag gör är att först väljer jag ut våra grupper, och sättet jag gör det på implicerar att ordningen spelar roll, att [1 2 | 3 4 |5 6 | 7 8 9] är en helt annan uppdelning än [3 4 | 1 2 |5 6 | 7 8 9].

Så är ju inte fallet, så jag dividerar med 3!.

Jag skulle också kunna välja ut våra grupper genom att ta 3-gruppen först (eller tvåa eller trea). Gör jag det blir det samma resonemang: sättet jag räknar ut det på implicerar att ordningen spelar roll; att [7 8 9| 1 2 | 3 4 |5 6] är en helt annan uppdelning än [7 8 9 |3 4 | 1 2 |5 6].

Så är ju inte fallet,  så jag dividerar med 3!.

Oavsett ordning får jag samma uträkning.

Svara Avbryt
Close