Avgör om differentialekvationerna är linjär eller separabla (endim analys)

Hur skall diffekvation v skrivas egentligen? Du har skrivit x*y*y'=x^2x^2, d v s x^.y^.y'=x²x²   - varför förenklar du inte högerledet till x⁴, så att det blir y^.y'=x³ när du förenklar?

Oj har ändrat nu! Det ska givetvis stå xyy'=x^2+y^2

En linjär differentialekvation:

$a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=h(x)$

innebär att varje "koefficienterna" (som är funktionerna $a_k(x)$) framför får enbart bero av $x$. Vi får alltså hur krånglig funktion av $x$ som helst som koefficient till exempelvis $y''$, men koefficienten får inte vara $y$, för då är ekvationen inte längre linjär. Jag är inte riktigt med på vad du menar när du säger att du behöver derivera ekvationen för att se om den är linjär. Det är väl bara att jämföra med den allmänna formen?

Du kanske har hört talas om att man kan lösa en inhomogen linjär differentialekvation genom att först lösa den homogena ekvationen (d.v.s. sätta $h(x)=0$), och sedan addera med en partikulärlösning så att man får den allmänna lösningen $y=y_h+y_p$. Detta trick fungerar just för att ekvationen är linjär. Den homogena lösningen $y_h$ uppfyller nämligen $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=0$ och partikulärlösningen uppfyller $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+...+a_1(x)y'+a_0(x)y=h(x)$. Insättning av $y=y_h+y_p$ i vänsterled ger sedan:

$a_n(x)(y_h+y_p)^{(n)}+a_{n-1}(x)(y_h+y_p)^{(n-1)}+...+a_1(x)(y_h+y_p)'+a_0(x)(y_h+y_p)=$

$=a_n\left(x\right)y_h^{(n)}+a_n\left(x\right)y_p^{(n)}+a_{n-1}\left(x\right)y_h^{(n-1)}+a_{n-1}\left(x\right)y_p^{(n-1)}+...+a_1\left(x\right)y_h'+a_1\left(x\right)y_p'+a_0\left(x\right)y_h+a_0\left(x\right)y_p=$

$=\underbrace{a_n\left(x\right)y_h^{(n)}+a_{n-1}\left(x\right)y_h^{(n-1)}+...+a_1\left(x\right)y_h'+a_0\left(x\right)y_h}_{=0}+\underbrace{a_n\left(x\right)y_p^{(n)}+a_{n-1}\left(x\right)y_p^{(n-1)}+...+a_1\left(x\right)y_p'+a_0\left(x\right)y_p}_{=h(x)}=0+h\left(x\right)=h\left(x\right)$

Alla dessa manipulationer är möjliga just för att ekvationen är linjär, d.v.s. det går att separera ut termerna var för sig som ovan.

En separabel ekvation kräver att hela ledet är multiplicerat med $y'$. Din ekvation:

$yy'-y^2=x$

är inte separabel eftersom bara en av termerna i VL, inte båda, har  en faktor $y'$. Hade det istället stått

$(y-y^2)y'=x$

hade ekvationen varit separabel eftersom hela vänsterledet är multiplicerat med $y'$. Är du med på skillnaden?

Ang linjär differentialekv: Åh tack då förstår jag lite mer! Det jag menade med derivering var att om jag vet med mig att vid linjäritet ska derivatorna uppträda linjärt, alltså ifall jag var tvungen att derivera varje ekvation jag ska identifiera, och sedan avgöra om den derivatan uppträder linjärt. 

Ang separabel: Jag fattar! Och det är alltid bara y', eller säg att vi skulle ha (y-y^2)y''=x, skulle den vara separabel? 

Smulan skrev:

Ang linjär differentialekv: Åh tack då förstår jag lite mer! Det jag menade med derivering var att om jag vet med mig att vid linjäritet ska derivatorna uppträda linjärt, alltså ifall jag var tvungen att derivera varje ekvation jag ska identifiera, och sedan avgöra om den derivatan uppträder linjärt. 

Ang separabel: Jag fattar! Och det är alltid bara y', eller säg att vi skulle ha (y-y^2)y''=x, skulle den vara separabel? 

Jag tror du missuppfattar betydelsen av att derivatorna "uppträder linjärt". Det betyder bara att de är på den där formen, det har ingenting att göra med att du skall derivera ekvationen.

Regeln gäller bara allmänt för $y'$. Ekvationen $(y-y^2)y''=x$ är inte separabel.

Däremot så finns det lite udda fall där enbart $y'$ och $y''$ uppträder (d.v.s. inte $y$) som skulle kunna vara separabla. Till exempel är ekvationen:

$(y'-y'^2)y''=x$

separabel. Detta kan man se genom att sätta $u=y'$. Då blir ekvationen:

$(u-u^2)u'=x$

vilket vi tydligt ser är separabelt. Dock skulle jag tro att denna typ av separabla ekvationer är ganska ovanliga att få på uppgifter, men vad vet jag.

Men iv då som bara har y'+y^2=3? Den har bara en y' framför termen?

Ja, den är ju klurig. Då måste vi göra lite manipulationer först. Som den står nu är den inte separabel, men kolla här:

$y'+y^2=3$

$y'=3-y^2$

$\dfrac{y'}{3-y^2}=1$

I denna form är ekvationen separabel. Ibland behöver vi alltså trixa lite grann för att få ekvationen separabel.

Jahaaa då förstår jag. Nu känns allt mycket klarare! Tack tack tack!

Smulan skrev:

Men iv då som bara har y'+y^2=3? Den har bara en y' framför termen?

Funktionen y(x) är ju kvadrerad, så då kan det inte vara en linjär diffekvation, lika lite som y=x² är en linjär funktion. Alla linjära funktioner kan ju skrivas på formen y=kx+m, och det kan man inte göra med funktionen y(x)=x². På liknande sätt kan en linjär diffekvation skrivas utan att man kvadrerar (eller ännu värre!) vare sig funktionen eller någon av dess derivator.