4 svar
98 visningar
lund 329
Postad: 14 sep 20:29 Redigerad: 14 sep 20:35

Avgör om sekvensen konvergerar för alla α>0

Jag vill testa om sekvensen {xk}\{x_k\} som genereras av uttrycket xn+1=α·xn(1-xn)x_{n+1} = \alpha\cdot x_n(1-x_n), med x0x_0 i intervallet [1,0][1,0], konvergerar för alla α>0\alpha >0 och jag skulle uppskatta hjälp med hur man kan göra detta:

Jag tänkte testa för α;\alpha; mellan (1) noll och ett, (2) ett och två samt (3) två och tre och skulle uppskatta hjälp med hur man kan göra detta.

Mitt resonemang: Jag tänkte börja med (1) och min tanke var då att ta x0=0,5x_0=0,5 samt α=0.6\α=0.6 då jag tolkade dessa som valfria inom de givna intervallen. Då får jag att x0+1=0.6·0.5(1-0.5)=-0.2x_{0+1}=0.6 \cdot 0.5(1-0.5)=-0.2 men hur går jag vidare efter detta? Och bör jag försöka generera uttrycket för större n också?

Micimacko 2935
Postad: 14 sep 21:19

Tanken är inte att du ska välja tal, det borde gälla för alla i rätt intervall. Hur fick du fram något negativt från att bara gångra ihop positiva saker?

När är x*(x-1) som störst? Går det kanske att uppskatta en maxgräns?

Vad konvergerar a^x mot i fallet när 0<a<1?

lund 329
Postad: 17 sep 16:46 Redigerad: 17 sep 16:46
Micimacko skrev:

Tanken är inte att du ska välja tal, det borde gälla för alla i rätt intervall. Hur fick du fram något negativt från att bara gångra ihop positiva saker?

När är x*(x-1) som störst? Går det kanske att uppskatta en maxgräns?

Vad konvergerar a^x mot i fallet när 0<a<1?

Ja nu ser jag att det blivit fel, ska såklart vara ett positivt tal egentligen.

Okej så du menar att jag inte behöver dela upp det i mindre intervall utan endast uppskatta en maxgräns? Och om jag trots allt vill göra det i mindre steg för att se hur den utvecklas, ska jag ansätta x till någonting då? Tex, x0=0.5 vilket ger 0.25α och räkna på vad detta ger då 0<α<1?

Och som svar på din fråga, a^x bör konvergera mot 1 i fallet då 0<a<1.

Micimacko 2935
Postad: 17 sep 22:33

 

Okej så du menar att jag inte behöver dela upp det i mindre intervall utan endast uppskatta en maxgräns?

Dela upp där du behöver, tex att dra en gräns vid 1 kan vara intressant.

Och om jag trots allt vill göra det i mindre steg för att se hur den utvecklas, ska jag ansätta x till någonting då? Tex, x0=0.5 vilket ger 0.25α och räkna på vad detta ger då 0<α<1?

Nej behåll mellan 0 och 1 om det inte dyker upp någon anledning så det måste delas upp.

Och som svar på din fråga, a^x bör konvergera mot 1 i fallet då 0<a<1.

Nej, du tar gånger något som är mindre än 1 om och om igen, då blir resultatet mindre för varje gång.

Ebola Online 2446
Postad: 18 sep 02:42

Du kan snabbt förstå att om 0α30\leq\alpha \leq 3 kommer sekvensen konvergera för alla x0x_0. Detta för att lutningen på funktionen som bildas av sekvensen är mindre än 1 vid någon av skärningspunkterna då x=αx(1-x)x=\alpha x(1-x). Detta kan demonstreras med fixpunktsiteration.


Tillägg: 18 sep 2021 04:05

Du undrar kanske strax vad som händer mellan 3 och 4 samt efter 4. Om detta finns det mycket att orda då sekvensen är mycket känd:

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Bifurkationsdiagram

Den är den så kallade logistiska ekvationen som har många intressanta tillämpningar och som kan relateras till Mandelbrot mängden. Se denna video för detaljer:

Veritasium - This equation will change how you see the world (the logistic map)

Svara Avbryt
Close