Avgöra konvergens

jonte12 skrev:

Jag ska avgöra om integralen konvergerar : Jag skulle vilja göra detta genom att: $\frac{\cos x}{1+x^2}=\frac{1}{x^2}\frac{\cos x}{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}\le \frac{1}{x^2}$ då den andra termen går mot cosx då x $\to \infty$. Och sedan hänvisa till sats som säger att: ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }}$ är konvergent om $\alpha >1$ och därmed säga att integralen är konvergent. Enligt facit ska den vara konvergent med i lösningsförslaget löser dom det på ett annat sätt. Så jag undrar om man kan göra såhär? eller hur rekommenderar ni att man skulle göra?

Vad sägs om att majorera |cos(x)| till 1 och behålla 1+x^2 i nämnaren. Den primitiva funktionen är välkänd.

Trinity2 skrev:

jonte12 skrev:

Jag ska avgöra om integralen konvergerar : Jag skulle vilja göra detta genom att: $\frac{\cos x}{1+x^2}=\frac{1}{x^2}\frac{\cos x}{1+{\displaystyle \frac{1}{x^2}}}\le \frac{1}{x^2}$ då den andra termen går mot cosx då x $\to \infty$. Och sedan hänvisa till sats som säger att: ${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^{\alpha }}$ är konvergent om $\alpha >1$ och därmed säga att integralen är konvergent. Enligt facit ska den vara konvergent med i lösningsförslaget löser dom det på ett annat sätt. Så jag undrar om man kan göra såhär? eller hur rekommenderar ni att man skulle göra?

Vad sägs om att majorera |cos(x)| till 1 och behålla 1+x^2 i nämnaren. Den primitiva funktionen är välkänd.

Det är exakt så dom gör i lösningsförslaget :) Så det låter som en bra ide!

Din ide funkar lika bra om du slänger på belopp. Att använda olikheter för att visa att något ev negativt är litet är ganska meningslöst.