4 svar
141 visningar
MN_BD behöver inte mer hjälp
MN_BD 25
Postad: 24 mar 2023 23:26

Avgöra om en serie med cosinus är konvergent

Jag ska undersöka om serien k=1coskπ är konvergent. Jag försökte avgöra om limkcoskπ är nollskilt men jag förstår inte hur gränsvärdet ska lösas. Finns det något sätt att resonera fram om den är konvergent eller divergent?

Moffen 1875
Postad: 24 mar 2023 23:51 Redigerad: 24 mar 2023 23:52

Hej,

Här är ju kk ett positivt heltal, varför serien är cosπ+cos2π+cos3π+cos4π+cos5π+...\cos\left(\pi\right)+\cos\left(2\pi\right)+\cos\left(3\pi\right)+\cos\left(4\pi\right)+\cos\left(5\pi\right)+... Kom ihåg att cosinus är en 2π2\pi periodisk funktion.

Tomten 1815
Postad: 25 mar 2023 06:26

Men cos kpi = 1 om k är jämnt och -1 om k är udda. Följden av delsummor har två delföljder, den ena konstant =0 och den andra divergerar mot - oändl.. Serien är därför divergent. 

tomast80 4242
Postad: 25 mar 2023 07:29

Serien hoppar mellan -1-1 och 00.

AlvinB 4014
Postad: 26 mar 2023 12:04 Redigerad: 26 mar 2023 12:14
MN_BD skrev:

Jag ska undersöka om serien k=1coskπ är konvergent. Jag försökte avgöra om limkcoskπ är nollskilt men jag förstår inte hur gränsvärdet ska lösas. Finns det något sätt att resonera fram om den är konvergent eller divergent?

Det du är inne på här funkar också. Om serien skall vara konvergent så måste gränsvärdet av termerna gå mot noll (i alla fall gränsvärdet över heltalen).

limkcoskπ=limk-1k\lim_{k\to\infty}\cos\left(k\pi\right)=\lim_{k\to\infty} \left(-1\right)^k existerar inte, alltså kan serien inte heller konvergera.

En brasklapp att lägga in här är dock just det här med att det rör sig om ett gränsvärde över heltalen. Tar vi till exempel

k=1sink2+1kπ\displaystyle\sum_{k=1}^\infty \sin\left(\dfrac{k^2+1}{k}\pi\right)

kan man lätt luras att tro att gränsvärdet

limksink2+1kπ\lim_{k\to\infty}\sin\left(\dfrac{k^2+1}{k}\pi\right)

inte existerar och att serien är divergent. Och mycket riktigt existerar inte gränsvärdet om vi skulle titta på reella tal kk, men faktum är att över heltal kk existerar gränsvärdet:

sink2+1kπ=sinπk+πk=cosπksinπk=-1ksinπk0\sin\left(\dfrac{k^2+1}{k}\pi\right)=\sin\left(\pi k+\dfrac{\pi}{k}\right)=\cos\left(\pi k\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{k}\right)=\left(-1\right)^k\sin\left(\dfrac{\pi}{k}\right)\to0 när kk\to\infty.

Det går också att med Leibniz kriterium visa att serien faktiskt är konvergent (som bekant är ju ett sådant här gränsvärde nödvändigt, men inte tillräckligt för att serien skall konvergera!).

Också lite kul tröst om sånt här känns svårt ibland är att inte ens Wolfram Alpha alltid vet vad den håller på med:

(Det här är fel; serien konvergerar)

Svara
Close