avgöra om funktionen är strängt växande/avtagande

Notera att f’(x) = -tan²(x).

Jag skulle börja med att skissa grafen till f’(x).

Tex var finns nollställen? För vilka värden på x är f’(x) inte definierad? Et cetera, et cetera ... 

Tänk på att f’(x) är en periodisk funktion.

Det ser bra ut! Vad får du om du löser olikheten? 

Smutstvätt skrev:

Det ser bra ut! Vad får du om du löser olikheten? 

varför blir det inte  $$\begin{gathered} {\cos }^{2}x < 1 \\ \cos x <1, \cos x < -1 \end{gathered}$$

blir det inte plus/minus 1 när man kvadrerar?

löser jag  $$\begin{gathered} \cos x < 1 \\ x < 2\mathrm{\pi n} \end{gathered}$$

men svaret blir ju inte att funktionen är strängt avtagande för alla $x < 2\mathrm{\pi n}$?

EDIT - Lade till ett minustecken jag missade tidigare.

$cos^2(x)<1$ stämmer, men inte att $cos(x)<-1$ är en lösning. Dels så finns inga sådana värden, dels gäller det ju att om de fanns så skulle $cos(x)<-1$ ju innebära att $cos^2(x)>1$.

------------

Det gäller istället att om

$a^2<1$

så är

$|a|<1$, dvs

$-1<a<1$.

Det ser du enkelt om du ritar parabeln $y=a^2$.

Yngve skrev:

$cos^2(x)<1$ stämmer, men inte att $cos(x)<1$ är en lösning. Dels så finns inga sådana värden, dels gäller det ju att om de fanns så skulle $cos(x)<-1$ ju innebära att $cos^2(x)>1$.

------------

Det gäller istället att om

$a^2<1$

så är

$|a|<1$, dvs

$-1<a<1$.

Det ser du enkelt om du ritar parabeln $y=a^2$.

okej så jag ska lösa ${\cos }^{2}x < 1 \iff \left|\cos x\right| < 1 \iff \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi n} < \mathrm{x} < 2\mathrm{\pi n}$

så funktionen är avtagande för alla x i ovan intervall? (skilt från cos x = 0)

Maremare skrev:

Yngve skrev:

$cos^2(x)<1$ stämmer, men inte att $cos(x)<1$ är en lösning. Dels så finns inga sådana värden, dels gäller det ju att om de fanns så skulle $cos(x)<-1$ ju innebära att $cos^2(x)>1$.

------------

Det gäller istället att om

$a^2<1$

så är

$|a|<1$, dvs

$-1<a<1$.

Det ser du enkelt om du ritar parabeln $y=a^2$.

okej så jag ska lösa ${\cos }^{2}x < 1 \iff \left|\cos x\right| < 1 \iff \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi n} < \mathrm{x} < 2\mathrm{\pi n}$

så funktionen är avtagande för alla x i ovan intervall? (skilt från cos x = 0)

Ser konstigt ut. Är inte 2$\pi$n < $\pi$ + 2$\pi$n?

PATENTERAMERA skrev:

Maremare skrev:

Visa föregående citat

Yngve skrev:

$cos^2(x)<1$ stämmer, men inte att $cos(x)<1$ är en lösning. Dels så finns inga sådana värden, dels gäller det ju att om de fanns så skulle $cos(x)<-1$ ju innebära att $cos^2(x)>1$.

------------

Det gäller istället att om

$a^2<1$

så är

$|a|<1$, dvs

$-1<a<1$.

Det ser du enkelt om du ritar parabeln $y=a^2$.

okej så jag ska lösa ${\cos }^{2}x < 1 \iff \left|\cos x\right| < 1 \iff \mathrm{\pi }+2\mathrm{\pi n} < \mathrm{x} < 2\mathrm{\pi n}$

så funktionen är avtagande för alla x i ovan intervall? (skilt från cos x = 0)

Ser konstigt ut. Är inte 2$\pi$n < $\pi$ + 2$\pi$n?

ingen aning, hur ska jag räkna ut detta tal då?

PATENTERAMERA skrev:

Notera att f’(x) = -tan²(x).

Jag skulle börja med att skissa grafen till f’(x).

Tex var finns nollställen? För vilka värden på x är f’(x) inte definierad? Et cetera, et cetera ... 

Tänk på att f’(x) är en periodisk funktion.

Titta på ledtråden ovan.

Vi ser direkt att f’(x) = 0 då sin(x) = 0, dvs x = n$\pi$.

Vi ser även att f’(x) inte är definierad då cos(x) = 0, dvs x = $\pi$/2 + m$\pi$.

För alla andra värden på x är f’(x) < 0.

Vi ser även att f’ är en periodisk funktion med period $\pi$.

Om du skissar grafen till f’(x) utifrån detta så kan du kanske börja dra vissa slutsatser.

Tips: börja med att skissa grafen för x i intervallet (-$\pi /2$, $\pi /2$) och utnyttja sedan periodiciteten.

PATENTERAMERA skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Notera att f’(x) = -tan²(x).

Jag skulle börja med att skissa grafen till f’(x).

Tex var finns nollställen? För vilka värden på x är f’(x) inte definierad? Et cetera, et cetera ... 

Tänk på att f’(x) är en periodisk funktion.

Titta på ledtråden ovan.

Vi ser direkt att f’(x) = 0 då sin(x) = 0, dvs x = n$\pi$.

Vi ser även att f’(x) inte är definierad då cos(x) = 0, dvs x = $\pi$/2 + m$\pi$.

För alla andra värden på x är f’(x) < 0.

Vi ser även att f’ är en periodisk funktion med period $\pi$.

Om du skissar grafen till f’(x) utifrån detta så kan du kanske börja dra vissa slutsatser.

Tips: börja med att skissa grafen för x i intervallet (-$\pi /2$, $\pi /2$) och utnyttja sedan periodiciteten.

jag vet ej hur jag ska skissa grafen för vet ej hur den ser ut eller hur jag ens ska tänka för att skissa den

går det inte bara att lösa denna med hjälp av olikhet, vilken i så fall för den jag skrivit verkar vara fel, vet ej hur jag ska lösa den på annat sätt

Du har själv kommit fram till att olikheten $f'(x)<0$ är uppfylld för alla $x$ som uppfyller $cos(x)\neq0$, dvs för alla $x$ utom $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$.

Vi räknar upp några av dessa intervall:

$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$

$\frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2}$

Och så vidare.

Det kan du skriva som $-\frac{\pi}{2}+n\pi <x<\frac{\pi}{2}+n\pi$.

Maremare skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Visa föregående citat

PATENTERAMERA skrev:

Notera att f’(x) = -tan²(x).

Jag skulle börja med att skissa grafen till f’(x).

Tex var finns nollställen? För vilka värden på x är f’(x) inte definierad? Et cetera, et cetera ... 

Tänk på att f’(x) är en periodisk funktion.

Titta på ledtråden ovan.

Vi ser direkt att f’(x) = 0 då sin(x) = 0, dvs x = n$\pi$.

Vi ser även att f’(x) inte är definierad då cos(x) = 0, dvs x = $\pi$/2 + m$\pi$.

För alla andra värden på x är f’(x) < 0.

Vi ser även att f’ är en periodisk funktion med period $\pi$.

Om du skissar grafen till f’(x) utifrån detta så kan du kanske börja dra vissa slutsatser.

Tips: börja med att skissa grafen för x i intervallet (-$\pi /2$, $\pi /2$) och utnyttja sedan periodiciteten.

jag vet ej hur jag ska skissa grafen för vet ej hur den ser ut eller hur jag ens ska tänka för att skissa den

går det inte bara att lösa denna med hjälp av olikhet, vilken i så fall för den jag skrivit verkar vara fel, vet ej hur jag ska lösa den på annat sätt

Hur skulle du göra om någon bad dig skissa y = x²?

Hur gör du om någon ber dig skissa y = -tan²(x)?

Räkna ut y för några lämpliga värden på x och plotta. Tänk på att vi har ett antal vertikala asymptoter där y går mot -$\infty$. Utnyttja att f’ är en periodisk (och jämn) funktion.

Du kan ju fuska lite och använda något ritverktyg tex geogebra för att få hjälp.

Yngve skrev:

Du har själv kommit fram till att olikheten $f'(x)<0$ är uppfylld för alla $x$ som uppfyller $cos(x)\neq0$, dvs för alla $x$ utom $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$.

Vi räknar upp några av dessa intervall:

$-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}$

$\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{2}$

$\frac{3\pi}{2}<x<\frac{5\pi}{2}$

Och så vidare.

Det kan du skriva som $-\frac{\pi}{2}+n\pi <x<\frac{\pi}{2}+n\pi$.

Derivatan är inte mindre än noll överallt i dessa intervall. Tex f’(0) = 0.

PATENTERAMERA skrev:

Derivatan är inte mindre än noll överallt i dessa intervall. Tex f’(0) = 0.

Det är sant, men funktionen är ändå strikt avtagande även i dessa omgivningar.

Yngve skrev:

PATENTERAMERA skrev:

Derivatan är inte mindre än noll överallt i dessa intervall. Tex f’(0) = 0.

Det är sant, men funktionen är ändå strikt avtagande även i dessa omgivningar.

Jo, men om studenten baserar denna slutsats på att f’(x) < 0 i dessa intervall så har man ju ett logiskt felslut eftersom premissen inte är uppfylld. 

Jag vet inte på vilken nivå denna fråga egentligen ligger, den står som trigonometri för gymnasiet, men andra av Maremares frågor ligger på universitetsnivå.

På universitetsnivån skulle en slutsats baserad på en icke uppfylld premiss kunna rendera noll poäng på en tenta även om svaret råkar bli rätt.

Ja det har du rätt i. Klurig uppgift för att vara på Matte 4-nivå.

vet ej hur man skissar grafer har aldrig gjort det, har kollat upp grafen via ett verktyg men det gör mig bara mer förvirrad.

jag får ej använda hjälpmedel i skolan så i skolan skulle jag aldrig kunna lösa denna eftersom jag 1) ej kan skissa grafer 2) ej kan lösa detta uppgift

jag vill helst lära mig lösa denna uppgift innan jag lär mig skissa grafer. jag förstår att skiss och rita är bra att kunna men nu kan jag ej det 

Jag tycker att det är överkurs att skissa grafen till denna funktion.

Men den går att lösa algebraiskt utan skisser:

• Utgå från funktionen f(x).
• Derivera så du får f'(x).
• Funktionen är strängt avtagande överallt där f'(x) < 0 och strängt växande överallt där f'(x) > 0.
• Lös alltså olikheterna f'(x) < 0 och f'(x) > 0.
• Överkurs 2 är att inse att funktionen i detta fall är strängt avtagande även där f'(x) = 0.

Läs tråden igen från början till slut.

Att rita upp en graf med hjälpå av värdetabell lärde du dig i Ma1 (om inte tidigare).

Att skissa kurvor med hjälp  av derivatan gör man i Ma4.

Se till att lära dig skissa grafer, för det kommer du att ha nytta av fär att kunna lösa t ex den här uppgiften!

Yngve skrev:

Jag tycker att det är överkurs att skissa grafen till denna funktion.

Men den går att lösa algebraiskt utan skisser:

• Utgå från funktionen f(x).
• Derivera så du får f'(x).
• Funktionen är strängt avtagande överallt där f'(x) < 0 och strängt växande överallt där f'(x) > 0.
• Lös alltså olikheterna f'(x) < 0 och f'(x) > 0.
• Överkurs 2 är att inse att funktionen i detta fall är strängt avtagande även där f'(x) = 0.

Läs tråden igen från början till slut.

yes jag har ju skrivit hur jag löste olikheten men jag får ju fel svar så jag vet inte vart det blir fel

jag ska lära mig skissa grafer men man ska kunna lösa denna utan att skissa

Vilken av dina lösningar är det du undrar över?

Läs detta svar igen. Det ger ett nästan korrekt svar. Hänger du med på det som står där?

Läs även PATENTERAMERAs kommentar att derivatan inte är strikt mindre än 0 i hela lösningsmängden, vilket förklarar varför mitt svar bara var nästan rätt.

yes jag har ju skrivit hur jag löste olikheten men jag får ju fel svar så jag vet inte vart det blir fel

Nej, du har skrivit ATT du har löst olikheten och skrivit vilka (delvis felaktiga) svar du har fått. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning. Om du vill ha hjälp med hur du skall ändra ditt tanktesätt så behöver vi veta hur du tänker NU, så att vi vet vad vi skall hjälpa dig med.

Smaragdalena skrev:

yes jag har ju skrivit hur jag löste olikheten men jag får ju fel svar så jag vet inte vart det blir fel

Nej, du har skrivit ATT du har löst olikheten och skrivit vilka (delvis felaktiga) svar du har fått. Vi som svarar här är bra på matte, men usla på tankeläsning. Om du vill ha hjälp med hur du skall ändra ditt tanktesätt så behöver vi veta hur du tänker NU, så att vi vet vad vi skall hjälpa dig med.

okej jag behöver hjälp med att avgöra på vilka intervall funktionen $f\left(x\right) = x - \tan x$är strängt avtagande. 

Hur kan jag lösa denna utan att skissa? Vilken strategi kan jag använda förutom att skissa? Vad är första steget utan att skissa?

Som du har gjort - derivera och lös olikheten cos²x-1 < 0. Visa steg för steg hur du gör detta.

Maremare skrev:

}...]

Hur kan jag lösa denna utan att skissa? Vilken strategi kan jag använda förutom att skissa? Vad är första steget utan att skissa?

Jag har beskrivit stegen i detta svar.