Avståndet mellan två parallella linjer

Vet någon hur man löser fråga 24 B) ?

Här är ett sätt, som förutsätter att du räknat fram linjernas parameterform.

Om linjerna är parallella så finns det en vektor $\vec{u}$ som är parallell med båda linjerna.

Låt P vara en känd punkt på den ena linjen och Q vara en känd punkt på den andra linjen.

Vi tänker oss nu att vi har punkter A och A’ på varsin linje (se figur) så att förbindningslinjen mellan A och A’ är vinkelrät mot $\vec{u}$ . Avståndet mellan linjerna ges då av $|\vec{A A'}|$ .

Från figuren så ser vi att följande ekvation måste gälla

$\vec{P Q} + \vec{Q A} + \vec{A A'} + \vec{A' P} = 0$ .

Vi kryssmultiplicerar denna ekvation med $\vec{u}$ , notera att vektorer parallella med $\vec{u}$ kryssar till noll. Vi får då

$\vec{P Q} \times \vec{u} + \vec{A A'} \times \vec{u} = 0$ .

Detta implicerar att $|\vec{P Q} \times \vec{u}| = |\vec{A A'} \times \vec{u}| = |\vec{A A'}| \cdot |\vec{u}|$ .

Den sista likheten följer av att $\vec{A A'} och \vec{u}$ är ortogonala.

Vi får således att

Avståndet = $|\vec{A A'}| = \frac{|\vec{P Q} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ .

Tack så mycket!

Svara