Avståndet till Ljudkällan fördubblas - hur påverkar detta ljudnivån?

Du kommer fram till att om intensiteten från början är I1 så blir den nya intensiteten I2 = I1/4.

Formulera beta2 - beta1 och förenkla logaritmerna. 

Vad är beta?

Ser nu att du kallar det jag kallar beta för L. (Ljudintensitetsnivån)

L2 - L1 = ...

(Nu är det här inte så lirkande tyvärr men bara postar en full lösning för var ett tag sedan jag gjorde denna och behövde påminna mig själv)

Om man mäter intensiteten på två olika avstånd från en ideal ljudkälla och på avstånd $d_1$ får intensitet $I_1$ och på avstånd $d_2$ uppmäter intensitet $I_2$ så definierar vi ljud(intensitets)nivån med hjälp av intensiteterna enligt:

$L_1 = 10 \lg ( \cfrac{I_1}{I_{\text{ref}}} ) \, \text{dB}$

$L_2 = 10 \lg ( \cfrac{I_2}{I_{\text{ref}}} ) \, \text{dB}$

där $I_{\text{red}}$ avser referensintensiteten vilket kan vara olika men i din bok verkar vara $10^{-12} W/m^2$.

Om vi är intreserade av en skillnad i ljudnivå så konstruerar vi helt enkellt uttrycket som representerar skillnaden mellan dem och  

$\Delta L = L_2 - L_1 = 10 \left ( \lg (\frac{I_2}{I_{\text{ref}}} )- \lg (\frac{I_1}{I_{\text{ref}}}) \right ) \, \text{dB}$

Vartefter detta kan förenklas något med logaritmlagen $\lg (a) - \lg (b) = \lg (a/b)$

$\Delta L = 10 \lg \left ( \frac{I_2}{I_{\text{ref}}} / \frac{I_1}{I_{\text{ref}}} \right ) \, \text{dB} = 10 \lg \left ( \frac{I_2}{I_1} \right ) \, \text{dB}$

$\boxed{\Delta L = L_2 - L_1 = 10 \lg \left ( \frac{I_2}{I_1} \right ) \, \text{dB}}$

Så skillnaden i ljusnivå beror endast av kvoten av intensiteterna, inte på referensnivån. Denna formel är giltig oavsett hur intensitetsskillnaden uppstått.

Nu är vi dock inte givna intensiteterna utan endast förhållandet mellan avstånden 

$\cfrac{d_2}{d_1} = 2$    (den ena är dubblelt så stor som den andra)

Så man behöver hitta någon relation mellan $\frac{d_2}{d_1}$ och $\frac{I_2}{I_1}$

Här kan utnyttja faktumet att när man rör sig bort från en högtalare så minskar intensiteten (idealt) proportionellt mot kvadraten av avståndet. Kan härledas på olika vis men poängen är att 

$I_1 d_1^2 = I_2 d_2^2$

eller i kvotform

$\frac{I_2}{I_1}=\left (\frac{d_1}{d_2}\right )^2 = \left ( \frac{1}{2}\right )^2 = \frac{1}{4}$

Detta är förhållandet detr redan har givit på rad 2 i inlägget. 

Injicerar vi detta i formeln för $\Delta L$ fås:

$\Delta L = 10 \lg ( \cfrac{I_2}{I_1} ) \, \text{dB} = 10 \lg \left ( \frac{1}{4}\right ) \, \text{dB} = -10 \lg \left ( 4\right ) \, \text{dB}$

eller slutligen:

$\Delta L \approx -6.02 \, \text{dB}$

Jag tänkte ändå fråga hur man skulle göra. Men tack ändå för hjälpen Dr.G och SeriousCephalopod! :)

nu förstår jag