b) x^2= 1 (mod 8)

$x^2\equiv 1 (mod 8)\hspace{0.17em}\iff x^2 =\hspace{0.17em}8k + 1 \iff x^2 -1 =\hspace{0.17em}8k \iff (x-1)(x+1)=8k$

Vi vet att 8k är jämn HL, för att 8 är en jämn tal. Då betyder det att $(x-1)(x+1) =jämn$

För att $(x-1)(x+1)$ ska vara jämn behöver x vara en udda variabel. En allmänt sätt att skriva det på är:

x =2n+1, för jämna variabel är det x=2n. Detta ger oss om vi sätter in x in i ekvationen:

$$\begin{gathered} x=\hspace{0.17em}2n +1 \Rightarrow (x-1)(x+1) =8k \Rightarrow \left(\right(2n+1)-1)\left(\right(2n+1)+1)=8k \iff \left(2n\right)(2n+2)=8k\iff (4n^2+4n)=8k\iff \\ 4(n^2+n)=8k \end{gathered}$$

Som ger oss en jämn VL. 

Om x va en jämn variabel skulle VL vara udda (testa!). 

Och n ska va vara en heltal för att annars är det inte möjligt att få 8k. 

Hoppas detta hjälpte dig och om du har mer frågor kan du vänligen ställa dem. 

ForgottenMPC skrev:

$x^2\equiv 1 (mod 8)\hspace{0.17em}\iff x^2 =\hspace{0.17em}8k + 1 \iff x^2 -1 =\hspace{0.17em}8k \iff (x-1)(x+1)=8k$

Vi vet att 8k är jämn HL, för att 8 är en jämn tal. Då betyder det att $(x-1)(x+1) =jämn$

För att $(x-1)(x+1)$ ska vara jämn behöver x vara en udda variabel. En allmänt sätt att skriva det på är att:

x =2n+1  för jämna variabel är det x=2n. Detta ger oss om vi sätter in x in i ekvationen:

$x=\hspace{0.17em}2n +1 \Rightarrow (x-1)(x+1) =8k \Rightarrow \left(\right(2n+1)-1)\left(\right(2n+1)+1)=8k \iff \left(2n\right)(2n+2)=8k\iff (4n^2+4n)=8k$

Som ger oss en jämn VL. 

Om x va en jämn variabel skulle VL vara udda (testa!). 

Och n ska va vara en jämn tal för att annars är det inte möjligt att få 8k. 

Hoppas detta hjälpte dig och om du har mer frågor kan du vänligen ställa dem. 

Tack så JÄTTE JÄTTE JÄTTE mycket. Hjälpte verkligen!