b2 - 12.10 cd Teori Fråga

Nedan är två uträknade uppgifter som är rätt enligt facit. Jag undrar bara varför man svarar med ln med absolutbelopp och ln med vanliga parenteser. Beror det på att de är av udda grad, som 3?

c)

$\begin{array}{l}{\int }_{}^{}\frac{3x^2}{x^3+1}dx=\left[t=x^3+1, \frac{dt}{dx}=3x^2, dt=3x^{2}dx, \frac{1}{3x^2}dt=dx\right]=\\ ={\int }_{}^{}\frac{1}{t}·3x^2·\frac{1}{3x^2}dt={\int }_{}^{}\frac{1}{t}dt=\left[\ln \left|t\right|\right]=\left[\ln \left|x^3+1\right|+C\right]\end{array}$

d)

$\begin{array}{l}{\int }_{}^{}\frac{x}{x^2+1}dx=\left[t=x^2+1, \frac{dt}{dx}=2x, dt=2x dx, \frac{1}{2x}dt=dx\right]=\\ ={\int }_{}^{}\frac{1}{t}·x·\frac{1}{2x}dt={\int }_{}^{}\frac{1}{t}·\frac{1}{2}dt=\frac{1}{2}{\int }_{}^{}\frac{1}{t}dt=\frac{1}{2}\left[\ln \left|t\right|\right]=\left[\frac{1}{2}\ln \left(x^2+1\right)+C\right]\end{array}$