b2 - 4.63

Jag behöver hjälp med f''xy. Svaret ska bli:

$f'' x y = f^{'} v + y \cdot f^{''} u v + x y \cdot f^{''} v v$

Vart kommer f'v från? Här är min lösning hittils:

$\begin{array}{l} x \frac{d^{2} f}{d x^{2}} - y \frac{d^{2} f}{d x d y} + \frac{d f}{d x} = 0, x \cdot f^{''} x x - y \cdot f^{''} x y + f^{'} x = 0 . \\ u = y, \\ v = x y, y \neq 0 . \\ f^{'} x = f^{'} u \cdot u^{'} x + f^{'} v \cdot v^{'} x = f^{'} u \cdot 0 + f^{'} v \cdot y = [y \cdot f^{'} v], \\ f^{''} x x = {(f^{'} x)}^{'} x = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} x = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} u \cdot u^{'} x + {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot v^{'} x = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} u \cdot 0 + {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot y = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot y = \\ [y^{2} f^{''} v v], \\ f^{''} x y = {(f^{'} x)}^{'} y = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} y = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} u \cdot u^{'} y + {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot v^{'} y = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} u \cdot 1 + {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot x = \\ [y \cdot f^{''} u v + x y \cdot f^{''} v v] . \\ Insättning i den partiella differentialekvationen: \\ x \cdot (y^{2} f^{''} v v) - y \cdot (y \cdot f^{''} u v + x y \cdot f^{''} v v) + (y \cdot f^{'} v) = 0, \\ x y^{2} f^{''} v v - y^{2} \cdot f^{''} u v - x y^{2} \cdot f^{''} v v + y \cdot f^{'} v = 0, \\ - y^{2} \cdot f^{''} u v + y \cdot f^{'} v = 0, \end{array}$

34shuno skrev:
$\begin{array}{l} f^{''} x x = {(f^{'} x)}^{'} x = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} x = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} u \cdot u^{'} x + {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot v^{'} x = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} u \cdot 0 + {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot y = {(y \cdot f^{'} v)}^{'} v \cdot y = \\ [y^{2} f^{''} v v] \end{array}$

Borde inte

$\frac{d}{d v} (y * \frac{d f}{d v}) * y = (\frac{d y}{d v} * \frac{d f}{d v} + y * \frac{d^{2} f}{d^{2} v}) * y$

eller

${(y * f'_{v})'}_{v} * y = y^{2} * f''_{v v} + y * y'_{v} * f'_{v}$

Du förutsatte ju att v hade ett y-beroende, så y borde ha ett v-beroende.

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