Babysbytesmatris 3e fråga

Nu trodde jag att jag hade koll på babysbyte, men uppenbarligen inte.

Den elaka fråga lyder:

Finn matrisen för rotation vinkeln 90° moturs kring vektorn (1, 2, 2).

Tolkning:

Rotationer kring (1,2,2) är jätteskrämmande. Därför måste vi inledda en ny bas där allt är kvadratisk, ortonormerad och på rätt plats.

Först förflyttar vi oss från $e'$ universum, gör vår rotation, och återvänder till normal basen....

Men men... Rotationen med 90 grader, den är nog skriven i bas e?

Är det:

$f i n i s h = {ℚ_{1}}_{e \to e'} \cdot ℝ_{m e d 90 ° i d e n b e k a n t a v ä r l d a v e} \cdot {ℚ_{2}}_{e' \to e} = s t a r t$

ELLER

$f i n i s h = ℚ_{2_{} e' \to e} \cdot ℝ_{m e d 90 ° i d e n b e k a n t a v ä r l d a v e} \cdot ℚ_{1_{} e \to e'} = s t a r t$

Jag chansade på att rotationen var i bas e, dvs att jag måste först byta bas från e' till e, rotera, och byta bas tillbaka från e till e'. Jag tror att det är fel, så nu testar jag tvärtom, dvs att tänka att den rotation är korrekt beskriven i den nya basen.

Som ny bas införde jag:

$e'_{3} = \frac{1}{3} (1, 2, 2)$ , dvs, den normerade pinne (1,2,2) jag måste arbeta med.

$e'_{1} = \frac{1}{\sqrt{8}} (0, - 2, 2)$ , en godtyckligt promenerare som råkade ha dot product noll med den första pinne.

$e'_{2} = e'_{3} \times e'_{1} = |\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & e'_{1} \\ \frac{2}{3} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & e'_{2} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & e'_{3} \end{matrix}| =$

$|\begin{matrix} \frac{1}{3} & 0 & e'_{1} \\ \frac{2}{3} & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & e'_{2} \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{\sqrt{2}} & e'_{3} \end{matrix}| = (\frac{2}{3} \frac{1}{\sqrt{2}} - (- \frac{- 1}{\sqrt{2}} \frac{2}{3})) e'_{1} - (\frac{1}{3} \frac{1}{\sqrt{2}} - 0) e'_{2} + (\frac{1}{3} * \frac{- 1}{\sqrt{2}} - 0) e'_{3}$

$\frac{4}{3 \sqrt{2}} e'_{1} - \frac{1}{3 \sqrt{2}} e'_{2} - \frac{1}{3 \sqrt{2}} e'_{3}$

$ℚ = (\begin{matrix} 0 & \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \end{matrix})$ är min basbytsmatris från e' till e. Eller?

Så först måste jag gå från e till e', eftersom vår rotation är skriven i språk e', dvs vi vill använda inversen till detta (i detta fall transponat).

$ℚ^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix})$

${ℚℝℚ}^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix})$

$(\begin{matrix} 0 & \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 & \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{1}{3} \\ \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{2}{3} \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & \frac{- 1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{- 1}{3} & \frac{- 2}{3} & \frac{- 2}{3} \\ \frac{4}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} & \frac{- 1}{\sqrt{18}} \end{matrix}) =$

Och redan där vet jag att det är fel för att jag få noll i position $a_{11}$ när faciten säger $\frac{1}{9}$ .

En till tråkigt dag i babysbytesvärlden.

Ok, jag kom på var felerna var

Delvis är det rotation kring fel pinne. E3 avbildas på sig själv, resten beter sig som vanligt.

Och vi måste först från e till e', alltså vad kallas per konvention Q^-1! Avbildning händer ju kring (1,2,2) Alltså det hjälper inte att vara i Berlin när festen är i Moskva liksom.

Edit: jag svarade till migsjälv bara för att få stänga tråden, men knappen inte funkar på Mozilla, sorry. Fixar det hemma.

Men om någon (Guggle :))) har några smarta råd, eller blommor, eller choklad, jag vill gärna höra dem!!

Svara