Bakeri

Det är kanske inte så här man skall göra, men ett sätt är att lösa ut y

y= $\frac{28-2x}{3}=9 + \frac{1-2x}{3}$

med kravet att 2x -1 skall vara delbart med 3 för att y skall vara heltal.

Restaritmetik ger att x kan vara 2, 5, 8, 11, ... som ger y= 8, 6, 4, 2 och sen är det stopp.

Biorr skriver 2y + 3x = 28
Det ser ut som om hansa har bytt plats på x och y.

Det finns en max-gräns för x och y också, eftersom de är positiva heltal (eller 0).
0 <= x < 10, i praktiken 0 <= x < 9 för att man ska få heltalslösningar. 3x får inte vara ett udda tal.

y kan inte vara 0, då finns ingen heltalslösning. y måste vara max 14. (28-2y) måste vara delbart med 3.

Wikipedia har också en del intressant om Diofantisk ekvation.

Man ska använda euklides algoritm för att lösa den diofantiska ekvationen i uppgift1.

?

Jag fastnade vid steg 2

euklides baklänges

detta är vara den allmänna lösningen

Allmänna lösningen måste ha någon variabel i sig (ofta n). Du har bara gett en enda lösning.

(Och du skriver högre upp att b = -1, men det är y som är -1.)

den här biten är jag osäker på.

då jag helt enkelt följde instruktionerna i sid50  och sid 46 från kurslitteraturen . Inlägg 4 och inlägg 5

Det ser bra ut, men du menar $2\ge 0$ på sista raden.

Som svar på fråga 1 skulle jag vilja se värdena på x och y, inte bara värdena på k.

Stämmer mitt resonemanget i de olika stegen? Bortsett ifrån de småfel

eller kan jag förbättra någon rubrik

Svar till #1 Biorr, Hej,

Du har räknat på vad jag kan se: Jag har läst Diofantisk ekvation och Euklides algorithm men det var länge sedan. Men jag kom ihåg för att det var på tenta!

Du har ställt up diofantisk ekvationen rätt baserat på måttskoporna på 2 dl och 3 dl som ska bli totalt 28 dl strösocker. Du skrev rätt 2x+3y = 28 eftersom man bara kan ta hela skopor måste både x och y vara positiva heltal eller noll (x ≥ 0, y ≥ 0). Vi sätter y = 0, får vi 2x = 28, vilket ger x = 14.

Diofantisk ekvation ax + by = c. När x minskar med koefficienten framför y (dvs 3), måste y öka med koefficienten framför x (dvs 2). Då har vi den allmäna formel x= 14-3n och y = 0+2n  (n är ett heltal). Vi får inte ha negativ antal skopor dvs att n bara kan vara 0, 1, 2, 3 eller 4. Ersätter vi n med dessa värden får vi  När n = 0 :x = 14, y = 0 (14 st 2 dl skopor och 0 st 3 dlskopor). När n = 1: x = 11, y = 2(11 st 2 dl skopor och 2 st 3 dl skopor) o.s.v. Men när n = 5 går det inte eftersom x= -1 då blir det minus skopor! Det finns 5 olika sätt att få ihop 28 dl strösocker. 

Svar #7 Biorr

Jag fastnade vid steg 2 euklides baklänges

Det ät rätt vad du har skrivit på vad jag kan se : Först måste man hitta SGD för 3 och 2.

3 = 1*2 + 1. Eftersom resten är 1, vet vi att SGD(3,2)=1 så här baklänges: 1=3-1*2.

Partikulärlösning : Vår ursprungliga ekvation ska vara lika med 28, inte 1. Därför multiplicerar vi hela uttrycket med 28. 

28*1 = 28 *(2(-1)+3*1) ==> 28= 2 (-28) + 3 (28). Partikulärlösning x = -28 och Y = 28 Använd formell för diofantiska ekvationen och ersätts med dessa väden. Du räknar ut de slutgiltiga kombinationer.

Lycka till med matimatiken!

på uppgift 2 är det samma princip. Men i sista delen så tar man differensen 140-94=46

så 46 olika sätt?

Hur gör man på uppgift 3?

Svar #15

Du har nästan helt rätt i din tankegång, men har snubblat precis på mållinjen när det gäller att räkna antalet sätt!

Jag antar att du tog 140-46 = 94 och skillnaden är 46.

Det korrekta sättet att räkna är 0,1,2,3,4,5,6....ända up till 46==> 46+1 = 47

 I programmering när vi skriver en loop som ska räkna något vi måste räkna med (0,1,2,3,4,....) du måste även räkna med det första alternativet dvs. starläget (0). Ditt var blir då 46 + 1 = 47.

På uppgift 3 är det permutation av multimängder?

SVAR #18

Nej, det är det inte!

Diofantiska ekvationer och Euklides algoritm (som vi använde i uppgift 3) handlar om heltal och delbarhet.

Permutation av multimängder handlar istället om kombinatorik (sannolikhet och att räkna antal). Det använder man när man vill ta reda på hur många olika sätt man kan ordna (sortera) saker där vissa element är identiska.

I uppgift 3 är det heltalsteori som gäller, inte permutationer!

Lycka till !

Är det det möjligt att få lite mer tips på hur man kan börja på uppgift 3?

När du ska t.ex. använda 8 skopor med 3 dl och 2 med 2 dl, så ska du alltså använda 10 skopor sammanlagt, varav 2 ska vara 2 dl.

På hur många sätt kan du välja ut 2 av 10 saker?

så man kan se det som att man har 10 platser tillgängliga. och upgiften handlar om olika ordningar av x=2 dl skopor och y=3 dl skopor. man använder olika kombinationer i ordningen på dessa 10 platser.

exempelvis en kombination kan vara 2,3,3,3,3,3,3,3, 2, 3

 ett sätt att välja ut 2 av 10 saker?

det blir en hel del kombinationer. hur går man tillväga

hur kan man börja med uppgift 4?

ska man testa sig fram tills man ser ett mönster?

svar #20

Är det det möjligt att få lite mer tips på hur man kan börja på uppgift 3?

Från uppgift 1 har du räknat ut kombinationerna. Måt för skoporna ska vara 2dl och 3 dl tillsammans ska bli 28 dl. Heltalslösningarna för ekvationen 2x+3y = 28. Det finns total 5 olika sätt att välja : som jag skrev i # 13.  så här : 14 st (2 dl) och 0 st (3 dl) — Totalt 14 skopor, 11 st (2 dl) och 2 st (3 dl) — Totalt 13 skopor. 8 st (2 dl) och 4 st (3 dl) — Totalt 12 skopor. 5 st (2 dl) och 6 st (3 dl) — Totalt 11 skopor. 2 st (2 dl) och 8 st (3 dl) — Totalt 10 skopor. Hur många unika följder kan vi göra ? då använder vi formel för permutation med dubletter så här :

$\frac{(Total antal skopor) !}{(antal 2dl !)*(antal 3dl)!}$==> så här vi tar t.ex. 2 st (2 dl) och 8 st (3 dl) — Totalt 10 skopor och ersätter i formel vi får $\frac{10!}{2! *8!}= \frac{10*9}{2*1}=45 sätt$.Gör likadant för de andra 4 värden.Sedan adderar vi alla 5 svaren för att få den totala resultatet.Jag räknade ut dem och fick 1+78+495+462+45 = 1081 sätt.

Så där , kontrollera själv Biorr kanske har jag missat någonstans!

Jag ser att du fick fem sätt men gör klar uppgiften med min tips.

Lycka till !

Svar # 23 hur kan man börja med uppgift 4?

Vi kan använda rekursiv formeln  som finns på sidan 74 som du laddade up.

Låt $a_n$vara antalet sätt att skopa total n deciliter. För att nå exakt n deciliter, har du bara två val (eftersom vi bara har 2 dl-skopor och 3 dl-skopor). Den sista skopan är en 2dl. Det finns $a_{n-2}$olika sätt. Den sista skopan är en 3dl. Det finns $a_{n-3}$olika sätt.

Sedan adderar vi dem för att få den Rekursiva talföljden för alla n $\ge 4$ blir : $a_n=a_{n-2}+ a_{n-3}$men För att den ska fungera måste man också bestämma startvärdena för de minsta volymerna se sid75 i  din lärobok: så här

$a_1= 0$(med skopor 2dl och 3dl går det inte att få exakt 1 dl)

$a_2= 1$det finns bara ett sätt: en 2 dl skopa

$a_3= 1$ det finns bara ett sätt: en 3 dl skopa

Vi testar att räkna fram några värden (t.ex. för n = 4 eller n = 5) med vår formel

$a_n=a_{n-2}+a_{n-3}$ för att räkna ut antalet sätt för 4, 5 och 6 deciliter. Vi utgår från startvärden $a_1=0$, $a_2=1$, $a_3= 1$.

För 4 dl dvs n= 4 får vi $a_4=a_2+a_1=1+0= 1 sätt$. Det stämmer! det enda sättet är att ta två stycken 2 dl-skopor: 2+2 för om du ska mäta upp 4 dl socker med dina skopor som är 2 dl och 3 dl, hur kan du göra då?

Det enda sättet som fungerar är att ta en 2 dl-skopa och sedan en till 2 dl-skopa. Tillsammans blir det: 2 dl + 2 dl = 4 dl.

Vi testar för n= 5 dvs 5 dl enligt formel tar vi $a_5=a_3+a_2= 1+1 = 2 sätt$. Det stämmer där också. De två sätten är: (2+3) eller (3+2). Så där.

Jag tycker den här uppgiften är superrolig! Det skickade mig rakt tillbaka i tiden till när jag själv satt och ångade med precis samma sort. Kul att få göra den igen tillsammans med dig!

Lycka till med matte uppgifterna.

Såhär på uppgift 3?

stämmer mitt resonemang i uppgift 4? Är det något som kan förbättras?

i uppgift 5 så kan man använda Matlab eller python? 

Svar #27

Formeln och hela tankegången är helt perfekt! Det enda du behöver göra är att ändra värdet för $a_5$i din väntra lista från 1 till 2 samt rätta till räkningen i rutan för $a_4$så att summa blir4.

Bra jobbat!

Svar #27

Använda Python eller Mathlab.

Det beror på vad ni brukar använda. Jag tycker att Python är mycket enklare än Mathlab. Jag gillar inte Mathlab tycker att det är väldigt rörigt när man ska programmera och dessutom måsta man alltid börja på 1. What a nightmare!

Använd Python om du kan. Väldigt enkelt Python kan man börja räkna från noll, precis som på papperet $(a_0,a_1,a_2...)$.Det går att köra direkt i webbläsare... 

Välkommen tillbaka om du undrar något.

cechak skrev:

Svar #27

Formeln och hela tankegången är helt perfekt! Det enda du behöver göra är att ändra värdet för $a_5$i din väntra lista från 1 till 2 samt rätta till räkningen i rutan för $a_4$så att summa blir4.

Bra jobbat!

hur menar du kring rättningen? a5 är 2

SVAR TILL #30

Om du tittar på pappret längst upp till vänster under rubriken "Startvärden / basfall" du har skrivit en lista: $a_0= 1$, $a_1= 0,a_2=1_{},a_3=1, a_4=1, a_5=1$här råkade du skriva en 1:a i stället för en 2:a! Det som du behöver göra är att sudda ut 1:a i lista högst upp till vänster och skriva en2:a att det står $a_5= 2$ så att hela pappret stämmer perfekt från början till slut!

Förstår du nu ?

Komplettering svar #30. Jag läste om papperet. Det som är rörigt är alla dessa pilar ock klamrar som är felatikt dragna och pekar på fel rader. Titta hur dina pilar är dragna för de sista stegen på papperet för $a_7=3$ har pilarna dragit från $a_5 och a_6$men formel säger att det ska ta $a_5+a_4$(2+1 = 3). För $a_8=4$ har pilarna dragitfrån $a_6 och a_7$men formel säger det sta ta $a_6+a_5$(2+2=4). Så du har tänkt helt rätt i huvudet och skrivit helt rätt siffror i listan, men råkat rita pilarna från raderna precis ovanför istället för att hoppa tillbaka 2 respektive 3 steg enligt formel som du tog fram i uppgift 4 : $a_n=a_{n-2}+a_{n-3}$vilket betyder för att räkna ut ett tal måste du titta på raderna som ligger 2 steg och 3 steg ovanför.

 På papperet har dina pilar ritats från $a_6(ett steg bakåt) och a_5(2 steg bakåt)$men i den här uppgiften måste man alltså hoppa tillbaka 2 och 3 steg. Vad du måste göra är att ta bort pilarna man blir bara förvirrad! När du gjort det blir det perfekta svaret.

Lycka till !

Jag har fastnat på 10.

skulle man kunna få lite tips att komma igång?