Bas för en topologi

Hej

jag har en uppgift som jag inte förstår hur man ska lösa och behöver därför lite hjälp.

Uppgiften är:

Låt $<a, b>$ vara någon punkt på skivan D= $\{<x, y> : x^{2} + y^{2} < 1\}$ . Sätt r= $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ . Låt $ℝ_{<a, b>}$ vara den öppna rektangeln med vertex i punkterna $(a \pm \frac{1 - r}{8}, b \pm \frac{1 - r}{8})$

Verifiera att $ℝ_{<a, b>} \subset D$ och använd sedan detta för att visa att D= $\underset{<a, b> \in D}{\cup} ℝ_{<a, b>}$

I svaret till uppgiften såg jag att man började med att sätta $m i n_{<x, y> \in S^{1}}$ $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} = 1 - r$ $\Rightarrow$ vertexpunkterna $\{a \pm \frac{1 - r}{8}, b \pm \frac{1 - r}{8}\} \in D$ därmed har vi $ℝ_{<a, b>} \subset D$

Vilket är första delen av uppgiften.

Jag förstår inte varför man börjar med att sätta $m i n_{<a, b> \in S^{1}} \sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}} = 1 - r$

Hej!

Låt punkten $A = (a,b)$ och punkten $B=(x,y)$ ligga på randen ( $\partial D$ ) till $D$ . Avståndet mellan $A$ och origo betecknas $|A|$ ; analog beteckning för $B$ . Triangelolikheten ger

$||A|-|B|| \leq |A-B| \implies |B|-|A| \leq |A-B|$

men $|B| = 1$ och $|A| = r$ och $|A-B| = \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ varför

$1-r \leq \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ ;

denna olikhet är uppfylld av samtliga punkter B, vilket visar att $1-r$ är en nedre begränsning till $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ . Det följer att $1-r$ är mindre än eller lika med den största nedre begränsningen till $\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ , det vill säga

$1-r \leq \inf_{(x,y) \in \partial D}\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}.$

okej men hur vet man att $|B| = 1$ och $|A| = r$ ? sen förstår jag inte riktigt hur vi vet att 1-r är mindre eller lika med den största nedre begränsningen.

Jocke011 skrev:
okej men hur vet man att $|B| = 1$ och $|A| = r$ ? sen förstår jag inte riktigt hur vi vet att 1-r är mindre eller lika med den största nedre begränsningen.

Känner du till hur man beräknar avståndet mellan två punkter?

Vad är exempelvis avståndet mellan punkterna (0,0) och (3,4)?

ja då sätter man ju d= $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Jocke011 skrev:
ja då sätter man ju d= $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5$

Avståndet mellan punkten $A$ och $(0,0)$ är $r$ ; detta har du skrivit.

Avståndet mellan punkten $B$ och $(0,0)$ är $1$ ; även detta har du skrivit när du skrev att $(x,y)\in S_1$ ; i geometriska sammanhang brukar $S_1$ beteckna enhetscirkeln.

Svara Avbryt

Visa senaste svar