Basbyte för linjära avbildningar

Alla böcker brukar ha sin egen notation, så du får nog visa hur din bok definierar de storheter som du tar upp för att vi skall kunna hjälpa.

PATENTERAMERA skrev:

Alla böcker brukar ha sin egen notation, så du får nog visa hur din bok definierar de storheter som du tar upp för att vi skall kunna hjälpa.

T.ex. här. Jag tänker att ${\left(F\right)}_V^v$borde bli

$\begin{bmatrix} 2-1& 2 \cdot 1 & \\ 7-3 & 2 \cdot 3 \end{bmatrix}$ =

$\begin{bmatrix} 1& 2  & \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$

Men det stämmer inte... Hur tolkar jag det och räknar man ut det?

Matrisens kolumner i en given bas kommer bestå av koordinaterna för avbildningarna av basvektorerna i den önskade basen. Alltså, för att få matrisen för $(F)^v_v$ ska du titta på koordinaterna för F(v1) och F(v2), när dessa uttrycks i basen v. Vad får du då för matris?

Tillägg: lyckades missa att du faktiskt gjort en uträckning. Din första kolumn, (1 4) är absolut koordinaterna för F(v1), men det är ju uttryckt i basen u, eller hur? (2 7) är v1:s koordinater i basen u, och (1 3) koordinaterna i basen u för v2. Så, vad är koordinaterna i basen v för v1-v2?

Hondel skrev:

Matrisens kolumner i en given bas kommer bestå av koordinaterna för avbildningarna av basvektorerna i den önskade basen. Alltså, för att få matrisen för $(F)^v_v$ ska du titta på koordinaterna för F(v1) och F(v2), när dessa uttrycks i basen v. Vad får du då för matris?

Tillägg: lyckades missa att du faktiskt gjort en uträckning. Din första kolumn, (1 4) är absolut koordinaterna för F(v1), men det är ju uttryckt i basen u, eller hur? (2 7) är v1:s koordinater i basen u, och (1 3) koordinaterna i basen u för v2. Så, vad är koordinaterna i basen v för v1-v2?

Ska jag invertera matrisen jag fick då? Jag har ingen aning :(

Vad blir koordinaterna till F(v₁) i basen $\underline{v}$? Vad blir koordinaterna till F(v₂) i basen $\underline{v}$? Det är enkelt. Du har svaret framför näsan.

PATENTERAMERA skrev:

Vad blir koordinaterna till F(v₁) i basen $\underline{v}$? Vad blir koordinaterna till F(v₂) i basen $\underline{v}$? Det är enkelt. Du har svaret framför näsan.

$\begin{bmatrix} 1\\ 4  \end{bmatrix}$ respektive $\begin{bmatrix} 2\\ 6 \end{bmatrix}$?

Nej. Om du har en vektor x och lyckas skriva den som en linjärkombination av vektorerna i basen v, dvs

x = av₁ + bv_2.

Vad är x:s koordinater relativt basen v?

PATENTERAMERA skrev:

Nej. Om du har en vektor x och lyckas skriva den som en linjärkombination av vektorerna i basen v, dvs

x = av₁ + bv_2.

Vad är x:s koordinater relativt basen v?

$[x]_v$?

Och vad blir [x]_v rent konkret i detta fall?

[x]_v = $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$, eller hur?

PATENTERAMERA skrev:

[x]_v = $\left[\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right]$, eller hur?

Ja, men kan inte tillämpa det i denna uppgift. Basbyte för en vektor u till en viss bas v, kan jag.

Jodå.

F(v₁) = v₁ - v₂, så vad blir [F(v₁)]_v?

PATENTERAMERA skrev:

Jodå.

F(v₁) = v₁ - v₂, så vad blir [F(v₁)]_v?

Fick det till $\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$

Nu har äntligen käckt koden. Jag förstod beteckningen $(F)^v_v$ och hur man räknar ut det. Tack PATENTERAMERA och Hondel!