Basbyte och diagonalisering

Tjenixen!

Jag har i uppgift att om möjligt diagonaliser matrisen $A=\left(\begin{array}{ccc}0& 3& -3\\ 1& -2& 1\\ 1& -5& 4\end{array}\right)$

genom att ta fram en matris S sådan att diagonalmatrisen D=S^-1AS

Jag har plockat fram egenvärden och egenvektorer till denna:

$$\begin{gathered} Egenvärde \lambda =0 till egenvektorn t(1,1,1) t\ne 0 \\ Egenvärde \lambda =-1 till egenvektorn t(0,1,1) t\ne 0 \\ Egenvärde \lambda =3 till egenvektorn t(1,0,-1) t\ne 0 \end{gathered}$$

Jag slänger in dessa i en matris jag kallar S och kollar så dessa kan utgöra en bas:

$$\begin{gathered} \left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right|=-1+0+1-1-0-0=-1\ne 0 \\ Utgör en bas \end{gathered}$$

Sen vill jag räkna fram Diagonalmatrisen D, det finns en sats som säger att diagonalelementen i en diagonal matrisen är egenvärdena till egenvektorerna i den ordningen som man stoppade in vektorerna. Jag har även utför matrismultiplikationen D=S^-1AS för att kontrollera att detta stämde vilket det gjorde.

Så mina matriser S och D blev:

$S=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right) \& D=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

I facit står det:

$S=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 1& 0\\ 1& 1& -1\end{array}\right) \& D=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 3\end{array}\right)$

och jag undrar är mitt svar "lika rätt" eller finns det bara ett svar på denna frågan?