basbyten

Jag tror du tänker rätt men blandar ihop matriserna och vektorerna från olika baser med varandra.

Basen $C = \left\{\right(2, -1), (6, -2\left)\right\}$ är basvektorerna för C uttryckt i standardbasen. Det ger att basbytesmatrisen från basen C till standardbasen S är

$P_{C->S} = \left[\begin{array}{cc}2& 6\\ -1& -2\end{array}\right]$.

Vi vill veta basen B uttryckt i standardbasen S. Vi har fått basvektorerna för B givna i basen C, basvektorerna för B har koordinaterna [b1]c = (1, 4) samt [b2]c = (2, 9) i basen C. För att veta koordinaterna för koordinatvektorn [b1]c i standardbasen S använder vi basbytesmatrisen $P_{c->s}$ eftersom [b1]c är koordinatvektorn i basen C. Om du jämför dina två exempel ser du att du har i ena exemplet matrisen $P_{c->s}$ som basbytesmatris från B -> C medan i andra exemplet har du en annan matris för basbytesmatrisen från B -> C. Det kan vara bra att hålla isär begreppet vektor och koordinatvektor när man inte förstår fullt ut vad som händer. Säg att vi har vektorn b1, den har koordinatvektorn (1, 4) i basen C, [b1]c = (1, 4). En vektor som har koordinaterna (1, 4) i basen C, vilka koordinater har vektorn i standardbasen S, [b1]s = ?

Med hjälp av basbytesmatrisen från C -> S (standardbasen) kan vi om vi vet vektorns koordinatvektor givet basen C få vektorns koordinatvektor i basen S (standardbasen).

${\left[\begin{array}{cc}2& 6\\ -1& -2\end{array}\right]}_{basbytesmatris(C->S)} {\left[\begin{array}{c}1\\ 4\end{array}\right]}_{koordinatvektor\left(\right[b1\left]c\right)} = {\left[\begin{array}{c}26\\ -9\end{array}\right]}_{koordinatvektor\left(\right[b1\left]s\right)}$.

Ja jag har svårt att skilja på vad som är B till C och vad dom är B till S.

Hur menar du att man ska hålla isär koordinater och vektorer? Vad är det för skillnad?

En vektor är ett objekt som kan representeras med en koordinatvektor i en viss bas. Till exempel vektorn $\stackrel{\rightharpoonup }{v}$ kan ha koordinatvektorn (1, 4) i standardbasen men koordinatvektorn (5, 8) i basen C.

Tack så mycket för svaret Aerius. Nu förstår jag den här uppgiften!

Jag undrar - skulle man kunna tänka sig det här som olika valutor? Skulle standradbasen kunna ses som ex Euro, och

basen B som SEK ?

Är standardbasen som vilken bas som helst? Basen B, Basen C och Standardbasen är alla 3 olika baser som funkar likadant.

Eller är standardbasen "speciell" och har en egen "matris/formel"?

Ja det går att föreställa sig olika valutor som ett vektorrum och därmed välja en bas för att representera valutorna. Eftersom valutan bara har ett tal blir det ett endimensionellt rum. Vi väljer en bas som vi kallar standardbasen så att en Euro får koordinaten ett till exempel, SEK i den basen får då koordinaten 0.095 avrundat. Vi har ett vektorrum fullt med objekt, till exempel olika valutor. I det vektorrummet väljer vi en bas och i den basen kan vi representera alla valutor. I en viss bas är vissa valutor enkla att hantera och i en annan bas är andra valutor enkla att hantera. Alltså som i exemplet med Euro och SEK. I basen vi valde är det svårt att direkt addera SEK men lätt att addera Euro, i en annan bas är det tvärt om.

Standardbasen är som vilken bas som helst förutom att basvektorerna i standardbasen har längden ett samt är ortogonala. Eftersom basvektorerna är ett samt ortogonala blir skalärprodukten enkel i standardbasen.

Hoppas det blev lite tydligare.

Aha. Jättebra! Tack så mycket! 🙂

Notera att det finns ett oändligt antal ortonormerade baser (ortogonala baser med längd 1).