Baskurs: Imaginär rot

Du får att $p(bi) = b^4 - 6b^2 + 9 + (-4b^3 + 12b)i$.

Om vi antar att $bi$ är ett nollställe till $p(z)$ måste uttrycket för $p(bi)$ vara lika med noll.

Det betyder att både realdelen $\text{Re } p(bi) = b^4 - 6b^2+9$ och imaginärdelen $\text{Im } p(bi) = - 4b^3 +12b$ måste vara lika med noll. Vi använder här faktumet att ett komplext tal $z=a+bi$ är lika med noll om och endast om både $a=0$ och $b=0$.

Därav ekvationssystemet i lösningsförslaget.

Gustor skrev:

Du får att $p(bi) = b^4 - 6b^2 + 9 + (-4b^3 + 12b)i$.

Om vi antar att $bi$ är ett nollställe till $p(z)$ måste uttrycket för $p(bi)$ vara lika med noll.

Det betyder att både realdelen $\Re p(bi) = b^4 - 6b^2+9$ och imaginärdelen $\Im p(bi) = - 4b^3 +12b$ måste vara lika med noll.

Därav ekvationssystemet i lösningsförslaget.

Ja just det, jag får strunta i allt som inte är kopplat till i även i lösningen. och då kan jag faktorisera ut i och bry mig om endast den faktorn så:

Imp(bi)=$4b(3-b^2)=0$

alltså b=0 V $\pm \sqrt{3}$

Men nu har jag inte fått alla lösningar?

Du får att 0 inte löser ekvationssystemet eftersom det inte är en rot till $\text{Re } p(bi) = b^4 - 6b^2 +9$.

Däremot är $\pm \sqrt{3}$ rötter till både $b^4-6b^2+9$ och $-4b^3+12b$.

Det betyder att vi har visat att

$p(bi) =0\implies b=\pm \sqrt{3}$.

Vi har funnit två rötter till $p(z)$. Vi kan då använda faktorsatsen för att konstatera att $(z+\sqrt{3})(z-\sqrt{3})$ delar $p(z)$.

Gustor skrev:

Du får att 0 inte löser ekvationssystemet eftersom det inte är en rot till $\text{Re } p(bi) = b^4 - 6b^2 +9$.

Däremot är $\pm \sqrt{3}$ rötter till både $b^4-6b^2+9$ och $-4b^3+12b$.

Det betyder att vi har visat att

$p(bi) =0\implies b=\pm \sqrt{3}$.

Vi har funnit två rötter till $p(z)$. Vi kan då använda faktorsatsen för att konstatera att $(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$ delar $p(z)$.

Är det bästa sättet nu at använda polynomdivision för att få resterande rötter?

Polynomdivision fungerar alltid, personligen skulle jag dock skriva upp det som $(z^2+3)(z^2+cz+d)=p(z)$ och utläsa från koefficienterna av $p(z)$ vad $c$ och $d$ måste bli.

Gustor skrev:

Polynomdivision fungerar alltid, personligen skulle jag dock skriva upp det som $(z^2+3)(z^2+cz+d)=p(z)$ och utläsa från koefficienterna av $p(z)$ vad $c$ och $d$ måste bli.

Även då jag använder detta så får jag ingen polynomdivision utan rest?

Jag får $\left(z^2+4z+9+\frac{24z+36}{z^2-3}\right)$

Jag glömde att b=$\pm \sqrt{3}$

betyder ju att z=$i\sqrt{3}$eller z=$-i\sqrt{3}$

Då blir de tillsammans $(z^2+3)$