Begynnelsevärdsproblem

Börja med att lösa den homogena differentialekvationen $\color[rgb]{0.87, 0.0, 0.0}\cancel{{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}y}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}'}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}'}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}+}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}y}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}=}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}17}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}e}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}{4x}}}$ $y\text{'}\text{'}+y=0$. Vilka lösningar har den? :)

EDIT: Som Smaragdalena påpekade, ska det vara $y\text{'}\text{'}+y=0$, inget annat. 

Smutstvätt skrev:

Börja med att lösa den homogena differentialekvationen $y''+y=17e^{4x}$. Vilka lösningar har den? :)

Du menar väl den homogena diffekvationen $y"+y=0$? Diffekvationen som du skrev är inte homogen. (Sedan behöver du även hitta EN lösning till den icke-homogena diffekvationen.)

Attans, ja precis. Vad slarvigt av mig! 😅

Smutstvätt skrev:

Börja med att lösa den homogena differentialekvationen $\color[rgb]{0.87, 0.0, 0.0}\cancel{{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}y}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}'}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}'}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}+}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}y}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}=}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}17}{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}e}^{\color[rgb]{0.0, 0.0, 0.0}{4x}}}$ $y\text{'}\text{'}+y=0$. Vilka lösningar har den? :)

EDIT: Som Smaragdalena påpekade, ska det vara $y\text{'}\text{'}+y=0$, inget annat. 

För den ekvationen är det inte så svårt att hitta lösningen, då får man följande:

$y = c_1{e}^{ix}+c_2{e}^{-ix}$

$y\text{'} = i{c}_1{e}^{ix}-c_{2}i{e}^{-ix}$

Man kan lösa ut c1 och c2 härifrån med villkoren, men jag vet inte vad jag ska göra med biten 17e^4x.

Du behöver hitta EN lösning till den icke-homogena diffekvationen. Ansätt något lämpligt, derivera 2 ggr och sätt in i diffekvationen.

Smaragdalena skrev:

Du behöver hitta EN lösning till den icke-homogena diffekvationen. Ansätt något lämpligt, derivera 2 ggr och sätt in i diffekvationen.

Då får jag att $y\text{'}\text{'} = -c_1{e}^{ix}-c_2{e}^{-ix}$, sätter jag in denna i ursprungsekvationen så förblir c1 och c2 fortfarande okända. Bör jag inte lösa ut de först med de övre ekvationssystemet med y och y'? 

Edit: testade att göra så och får att c1 och c2 = 0, så jag fortfarande fast

Du har hittat den allmänna lösningen till den homogena ekvationen.

Sedan behöver du hitta en partikulärlösning till den ursprungliga ekvationen. Dvs du måste hitta någon lösning, vilken som helst, till ekvationen y’’ + y = 17e^4x.

Gör en ansats, tex y = ae^4x. Och se om du kan bestämma konstanten a så att ekvationen blir uppfylld.

Sedan är den allmänna lösningen till den ursprungliga ekvationen den homogena lösningen + partikulärlösningen. Bestäm konstanterna mha begynnelsevillkoren.

PATENTERAMERA skrev:

Du har hittat den allmänna lösningen till den homogena ekvationen.

Sedan behöver du hitta en partikulärlösning till den ursprungliga ekvationen. Dvs du måste hitta någon lösning, vilken som helst, till ekvationen y’’ + y = 17e^4x.

Gör en ansats, tex y = ae^4x. Och se om du kan bestämma konstanten a så att ekvationen blir uppfylld.

Sedan är den allmänna lösningen till den ursprungliga ekvationen den homogena lösningen + partikulärlösningen. Bestäm konstanterna mha begynnelsevillkoren.

Rätta mig om jag har fel då, om jag gör en ansats som detta skall jag lösa ut y'' från y'' + ae^4x=17e^4x och sedan bestämma konstanten a? Man kan väl göra det med integrering härifrån då och begynnelsevillkoret y'(0) = 0 (integralen av y'' = y')

EDIT: Nu tror jag att jag förstod vad du mena, gjorde såhär istället då; med y = ae^4x som ansats då bör y'' = 16ae^4x. Stoppar jag det i ursprungsekvationen bör vi då få att y = e^4x om A = 1, tänker jag rätt nu eller är jag helt ute och cyklar?

Gör ansatsen y(x) = ae^4x som PATENTERAMERA tipsade om. Detrivera och ta fram y'(x). Derivera en gång till så att du får y''(x). Sätt in y och y'' i diffekvationen y''+y = 17e^4x. Vilket värde har konstanten a?

Vilken är den fullständiga lösningen till diffekvationen? Du har ett par konstanter som du (ännu) inte vet värdet på. Använd begynnelsevärdena för att ta fram dessa värden.

Smaragdalena skrev:

Gör ansatsen y(x) = ae^4x som PATENTERAMERA tipsade om. Detrivera och ta fram y'(x). Derivera en gång till så att du får y''(x). Sätt in y och y'' i diffekvationen y''+y = 17e^4x. Vilket värde har konstanten a?

Vilken är den fullständiga lösningen till diffekvationen? Du har ett par konstanter som du (ännu) inte vet värdet på. Använd begynnelsevärdena för att ta fram dessa värden.

Värdet på konstanten a bör då vara 1 eftersom y = e^4x för att det skall gå ihop i diff ekvationen. Alltså då att y'' = 16e^4x och y = e^4x

Bör inte y vara den fullständiga lösningen då? 

Den fullständiga lösningen är den homogena lösningen + partikulärlösningen. Du harett par konstanter i den omogena lösningen, som du kna ta fram med hjälp av begynnelsevärdena.

Smaragdalena skrev:

Den fullständiga lösningen är den homogena lösningen + partikulärlösningen. Du harett par konstanter i den omogena lösningen, som du kna ta fram med hjälp av begynnelsevärdena.

Då förstår jag, löste den nu! Tack för hjälpen!