Behöver alternativa metoder för integration med komplexa nollställe

God morgon!

Min lärare säger att det finns flera metoder för att integrera vid komplexa nollställerna.

Så jag behöver, den allra enklaste metod som finns för att jag har svårt att hänga med och inte slarva på varje steg utföra den klassiska.

Ex från kursen:

$\int \frac{4 x + 3}{x^{2} + x + 1} d x = D \int \frac{2 x + 1}{x^{2} + x + 1} d x + E \int \frac{d x}{x^{2} + x + 1} = 2 \ln (x^{2} + x + 1) + ? - - - - \int \frac{d x}{x^{2} + x + 1} = \int \frac{d x}{{(x + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{3}{4}} = \int \frac{\frac{4}{3} d x}{\frac{4}{3} {(x + \frac{1}{2})}^{2} + 1} = \frac{4}{3} \int \frac{d x}{{(\frac{2 x + 1}{\sqrt{3}})}^{2} + 1} \Rightarrow [\begin{matrix} t = \frac{2 x + 1}{\sqrt{3}} \\ d t = \frac{2}{\sqrt{3}} d x \end{matrix}] \Rightarrow \frac{4}{3} \int \frac{(\frac{2}{\sqrt{3}}) d x}{t^{2} + 1} = \frac{4}{3} \int \frac{(\frac{\sqrt{3}}{2}) d t}{t^{2} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} \int \frac{d t}{t^{2} + 1} = \frac{2}{\sqrt{3}} a r c \tan (t) + C = \frac{2}{\sqrt{3}} a r c \tan (\frac{2 x + 1}{\sqrt{3}}) + C$

So integralen blir:

$2 \ln (x^{2} + x + 1) + \frac{2}{\sqrt{3}} a r c \tan (\frac{2 x + 1}{\sqrt{3}}) + C$

Den här typ av beräkning är GARANTIN för mig att göra massor slarvfel, och jag menar inte bara råka bort glömma C.

Så som frågan lyder: något smidigt och enkelt?

Jag kommer inte på någon (väsentligt) annan metod!

Generellt får man en ln-term och en arctan-term. Ofta behövs variabelbyten (som här). Det finns många ställen att göra slarvfel på!

Även om det är jobbigt så är det bra att kontrollderivera slutresultatet för att se att man har gjort rätt!

Dr. G skrev:

Även om det är jobbigt så är det bra att kontrollderivera slutresultatet för att se att man har gjort rätt!

En till tillfälle att göra slarvfel för integrationskatten :)

Nämen jag hör dig. Det är bara att öva, öva och öva.

Och tack för svaret, jag hade ingen aning att det var alltid en $ln$ och en $arctan$ -term. Jag trodde integrationen plopade up random trigonometriska funktioner. Åtminstone vet jag vad jag är efter.

Det blir en ln och en arctan om du integrerar

(a*x + b)/(c*x^2 + d*x + e)

där (c*x^2 + d*x + e) saknar reella nollställen.

För vissa kombinationer av koefficienter så får du bara en ln eller bara en arctan.

Om du kommer på nåt smidigt, berätta gärna!

Svara

Visa senaste svar