7 svar
89 visningar
ll_blank_ll 29
Postad: 9 sep 2020 18:37

Behöver hjälp med att hitta olika sorters bevis för en sats

Hej,

nu som vi övar på bevismetoder har jag fått flera satser som jag ska bevisa eller motbevisa genom olika metoder. Dels har jag lite svårt att förstå hur jag ska lösa den, men jag måste även lära mig att argumentera för om det skulle gå att använda andra bevismetoder för att lösa frågan. Tack för hjälpen i förväg.

 

Frågan är: Summan av ett udda antal på varandra följande heltal är alltid lika med det mittersta talet gånger antalet tal

larsolof 2746
Postad: 9 sep 2020 18:54 Redigerad: 9 sep 2020 18:55

Kalla det mittersta talet för  X

Talen närmast under och över  X  är då  X-1  och  X+1    osv så här:

......   X-3    X-2    X-1    X    X+1    X+2    X+3   ......  

Du kan jämna ut talen genom att "flytta"  +1  till  -1,     +2 till -2   osv  så alla talen blir  X

Då blir summan "lika med det mittersta talet gånger antalet tal"

Calle_K 42
Postad: 9 sep 2020 19:04 Redigerad: 9 sep 2020 19:06

Summan av ett udda antal på varandra följande heltal kan gestaltas enligt nedanstående:

a + (a-1) + (a+1) + (a-2) + (a+2) + ... + (a-n) + (a+n)

Då vi utgår från talet a och alltid lägger till tal i par (ex. a-2 och a+2) kommer detta alltid resultera i ett udda antal tal.

Då varje par adderas fås 2a (ex. (a-2) + (a+2) = a + a - 2 + 2 = 2a)

Antalet par (Npar ) är det totala antalet tal (N) minus vårt ursprungliga tal (a) dividerat med 2, d.v.s. Npar= (N-1)/2

Den totala summan kan då skrivas som antalet par multiplicerat med värdet av varje par adderat med talet a (som inte ingår i något par)

Detta ger (N-1)/2 * 2a + a = aN - a + a = aN.

Summan kan alltså skrivas som det mittersta talet (a) multiplicerat med antalet tal (N)

 

Angående fråga 2 har jag svårt att hjälpa till då jag inte är säker på vilka metoder du har att välja mellan.

ll_blank_ll 29
Postad: 9 sep 2020 19:48
Calle_K skrev:

Summan av ett udda antal på varandra följande heltal kan gestaltas enligt nedanstående:

a + (a-1) + (a+1) + (a-2) + (a+2) + ... + (a-n) + (a+n)

Då vi utgår från talet a och alltid lägger till tal i par (ex. a-2 och a+2) kommer detta alltid resultera i ett udda antal tal.

Då varje par adderas fås 2a (ex. (a-2) + (a+2) = a + a - 2 + 2 = 2a)

Antalet par (Npar ) är det totala antalet tal (N) minus vårt ursprungliga tal (a) dividerat med 2, d.v.s. Npar= (N-1)/2

Den totala summan kan då skrivas som antalet par multiplicerat med värdet av varje par adderat med talet a (som inte ingår i något par)

Detta ger (N-1)/2 * 2a + a = aN - a + a = aN.

Summan kan alltså skrivas som det mittersta talet (a) multiplicerat med antalet tal (N)

 

Angående fråga 2 har jag svårt att hjälpa till då jag inte är säker på vilka metoder du har att välja mellan.

Tack för hjälpen :)

 

De bevismetoder som vi övar på är direkt, indirekt och mottsatsbevis. Har du något tips för olika bevismetoder?

Albiki 5320
Postad: 9 sep 2020 20:33

Hej,

Det är viktigt att formulera Premisser och Slutsats. 

  • Direkt bevis: Anta att Premisser är sant. Visa att då kommer Slutsats att vara sant.
  • Indirekt bevis: Anta att Slutsats är falsk. Visa att då kommer Premisser att vara falsk.
  • Motsatsbevis: Anta att Premisser är sant och att Slutsats är falsk. Visa att detta leder till en motsägelse. 

I ditt fall är Premisser: Du har ett udda antal på varandra följande heltal.

I ditt fall är Slutsats: Heltalens summa = (Mittersta talet)/(Antal tal)

ll_blank_ll 29
Postad: 9 sep 2020 20:40
Albiki skrev:

Hej,

Det är viktigt att formulera Premisser och Slutsats. 

  • Direkt bevis: Anta att Premisser är sant. Visa att då kommer Slutsats att vara sant.
  • Indirekt bevis: Anta att Slutsats är falsk. Visa att då kommer Premisser att vara falsk.
  • Motsatsbevis: Anta att Premisser är sant och att Slutsats är falsk. Visa att detta leder till en motsägelse. 

I ditt fall är Premisser: Du har ett udda antal på varandra följande heltal.

I ditt fall är Slutsats: Heltalens summa = (Mittersta talet)/(Antal tal)

Tack för hjälpen. 

 

Del av uppgiften är att diskutera om andra metoder skulle fungera. Jag har tänkt lite på om andra metoder men har inte kommit fram till ett bra svar. Skulle du säga att andra metoder skulle fungera för denna uppgift?

Albiki 5320
Postad: 9 sep 2020 20:51
ll_blank_ll skrev:
Albiki skrev:

Hej,

Det är viktigt att formulera Premisser och Slutsats. 

  • Direkt bevis: Anta att Premisser är sant. Visa att då kommer Slutsats att vara sant.
  • Indirekt bevis: Anta att Slutsats är falsk. Visa att då kommer Premisser att vara falsk.
  • Motsatsbevis: Anta att Premisser är sant och att Slutsats är falsk. Visa att detta leder till en motsägelse. 

I ditt fall är Premisser: Du har ett udda antal på varandra följande heltal.

I ditt fall är Slutsats: Heltalens summa = (Mittersta talet)/(Antal tal)

Tack för hjälpen. 

 

Del av uppgiften är att diskutera om andra metoder skulle fungera. Jag har tänkt lite på om andra metoder men har inte kommit fram till ett bra svar. Skulle du säga att andra metoder skulle fungera för denna uppgift?

Ja, både indirekt bevis och motsatsbevis skulle kunna fungera. Vilka svar har du själv kommit fram till? Det spelar inte roll om de ej är bra, sålänge du har något att komma med. 

ll_blank_ll 29
Postad: 9 sep 2020 21:03
Albiki skrev:
ll_blank_ll skrev:
Albiki skrev:

Hej,

Det är viktigt att formulera Premisser och Slutsats. 

  • Direkt bevis: Anta att Premisser är sant. Visa att då kommer Slutsats att vara sant.
  • Indirekt bevis: Anta att Slutsats är falsk. Visa att då kommer Premisser att vara falsk.
  • Motsatsbevis: Anta att Premisser är sant och att Slutsats är falsk. Visa att detta leder till en motsägelse. 

I ditt fall är Premisser: Du har ett udda antal på varandra följande heltal.

I ditt fall är Slutsats: Heltalens summa = (Mittersta talet)/(Antal tal)

Tack för hjälpen. 

 

Del av uppgiften är att diskutera om andra metoder skulle fungera. Jag har tänkt lite på om andra metoder men har inte kommit fram till ett bra svar. Skulle du säga att andra metoder skulle fungera för denna uppgift?

Ja, både indirekt bevis och motsatsbevis skulle kunna fungera. Vilka svar har du själv kommit fram till? Det spelar inte roll om de ej är bra, sålänge du har något att komma med. 

Jag har kommit fram till att premissen stämmer genom direkt bevis. Dock har jag fortfarande svårt att tänka mig hur jag skulle förklara ett indirekt/motsats bevis

Svara Avbryt
Close