Beräkna A^17

Prova att beräkna $\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 3\\ -1& -2\end{array}\right]=$. Notera sedan att n är ett udda tal. Vad kan du dra för slutsats?

Jag antar att det helt enkelt beror på att diagonalmatrisen har elementen $+1$  eller $-1$ på diagonalen.

Se exempel här: https://www.ludu.co/course/linjar-algebra/diagonalisering

@smutso: jag förstår vad har hänt men inte om finns det regler som gör att det alltid gäller att $A^{n}= A$ för en typ matris.

@tomast: så .... det gäller alltså alla matriser som har $\lambda = 1, -1$? Vad innebär det (geometrisk? filosofisk??)

$A^n=A$ inträffar för alla matriser då A är sin egen invers, och n är ett udda tal. Om n är ett jämnt tal blir $A^n=I$. 


$\mathrm{A}={\mathrm{PDP}}^{-1}$, där P och P(invers) är basbytesmatriser från standardbasen till egenvektorbasen. Diagonalmatrisen är då $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$. När vi upphöjer A till sjutton, ${\mathrm{A}}^{17}={\mathrm{PD}}^{17}{\mathrm{P}}^{-1}$, blir diagonalmatrisen fortfarande $\left[\begin{array}{cc}{1}^{17}& 0\\ 0& (-1{)}^{17}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right]$. Ingenting har alltså hänt, och därmed är ${\mathrm{A}}^{17}=\mathrm{A}$, och detta gäller för alla positiva heltal n, där n är udda. 

Finns det en sätt att se att en matris är sin egeninvers utan diagonalisering alltså?

Inte vad jag vet, men du kan utesluta ett stort antal fall genom att beräkna determinanten. Den måste vara $\pm 1$ för att det ska gå. Om determinanten inte är plus/minus ett måste man diagonalisera. Om determinanten är +/- 1, då måste inversen beräknas. 

 Oh! Mycket smart! Varför blir det så? (nu börjar det att make sense geometrisk...)

Determinanten talar om hur mycket linjen/planet/rummet/whatever skalas av en transformation. För att en invers ska vara en invers till A måste den trycka ihop rummet lika mycket som A skalade upp rummet (därav termen $\frac{1}{\det \left(A\right)}\left[\begin{array}{cc}d& -b\\ -c& a\end{array}\right]$, i formeln för en invers till en 2x2-matris). En sådan term får alla "inverspar" att skilja sig med (åtminstone) en faktor, förutom när det inte sker någon skalning. 

Nja, det låter inte instinktivt för mig: jag skulle kunna tänka mig att (med ett fal med 2 transformation), den första skulle kunna skala upp den, och den andra shrunka ner den igen. Och i slut ändan ser det ut som det har hänt inga transformation?

Självklart kan det hända, men då är inte matriserna sina egna inverser (dvs. A och ${\mathrm{A}}^{-1}$ är inte identiska), och därmed blir ${\mathrm{A}}^{17}$ inte lika med A. 

Ok, jag erkänner att jag förstår inte exakt hur den första är en konsekvens från den andra, men det likar jag ändå :) 

Du letar efter de matriser som, gånger sig själva, blir sig själva igen (efter ett udda antal upprepningar). Detta inträffar då matriserna är identiska med sina inverser (dvs. $\mathrm{A}={\mathrm{A}}^{-1}$). Om det finns någon allmän sådan regel för när detta inträffar vet jag inte, däremot måste determinanten vara ett eller minus ett. Detta eftersom om A skalar upp planet/rummet/etc., måste dess invers, ${\mathrm{A}}^{-1}$, trycka ihop rummet igen. Då är vårt antagande, att $\mathrm{A}={\mathrm{A}}^{-1}$, inte sant, och därmed kan dessa transformationer inte avbilda sig på sig själva.